📂シュワルツ超函数

ディラックのデルタ超関数に収束する超関数

定理¹

$f$が$\int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$を満たす関数だとしよう。そして$f_{\epsilon}(\mathbf{x})=\dfrac{ 1 }{ \epsilon^{n} }f\left( \dfrac{\mathbf{x}}{\epsilon} \right)$とする。その場合、$f$に対応する正則な反関数 $T_{\epsilon}=T_{f_{\epsilon}}$はディラックのデルタ反関数に弱収束する。つまり、以下が成り立つ。

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}=\delta $$

証明

$\tilde{f}(\mathbf{x})=f(-\mathbf{x})$とする。すると、以下が成り立つ。

$$ \tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{x})=\frac{1}{\epsilon}f\left( -\frac{\mathbf{x}}{\epsilon} \right) \quad \text{and} \quad \int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{f_{\epsilon}}d\mathbf{x}=1 $$

また、テスト関数 $\phi$はコンパクトサポートを持つ連続関数であるため、有界である。したがって、畳み込み収束定理により、以下が成り立つ。

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} \phi * \tilde{f_{\epsilon}} (\mathbf{x})=\phi (\mathbf{x})\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

従って、任意のテスト関数$\phi$に対して以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} \lim \limits _{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}(\phi) &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int f_{\epsilon}(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x} \\ &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int \tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{0}-\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x} \\ &= \lim \limits_{\epsilon \to 0} \tilde{f_{\epsilon}}\phi (\mathbf{0}) \\ &=\phi (\mathbf{0}) \\ &=\delta (\phi) \end{align} $$

よって、以下のようになる。

$$ T_{\epsilon} \overset{\text{w}}{\to} \delta $$

■