曲線の長さを測定する方法
📂解析学曲線の長さを測定する方法
定義
区間γ:[a,b]→Rkにおける曲線curve、または単にRk上の曲線は、連続関数と呼ばれる。
もし曲線[a,b]が1対1の関数ならば、弧arcと呼ばれる。
もしγならば、[a,b]を閉曲線closed curveと呼ぶ。
説明
注目すべき点は、点の集合ではなく写像として曲線を定義したことだ。
さて、区間γ(a)=γ(b)の分割γと曲線[a,b]に対して[a,b]を以下のように定義しよう。
Λ(P,γ)=i=1∑n∣γ(xi)−γ(xi−1)∣
右辺のP={x0,…,xn}番目の項は、二点γ間の距離を意味する。つまりΛは、点iを結んだ折れ線の長さと等しい。分割を細分化すればするほど、Λは[a,b]の実際の長さにより近づくだろう。このセンスで、曲線[a,b]の長さlengthγ(xi−1),γ(xi)を次のように定義する。
Λ(γ)=∀PsupΛ(P,γ)
もしΛ(P,γ)ならば、[a,b]を長さを測ることができるrectifiable曲線と呼ぶ。