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曲線の長さを測定する方法 📂解析学

曲線の長さを測定する方法

定義1

  • 区間γ:[a,b]Rk\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}における曲線curve、または単にRk\mathbb{R}^{k}上の曲線は、連続関数と呼ばれる。

  • もし曲線[a,b][a,b]1対1の関数ならば、arcと呼ばれる。

  • もしγ\gammaならば、[a,b][a,b]閉曲線closed curveと呼ぶ。

説明

注目すべき点は、点の集合ではなく写像として曲線を定義したことだ。

さて、区間γ(a)=γ(b)\gamma (a)=\gamma (b)分割γ\gammaと曲線[a,b][a,b]に対して[a,b][a,b]を以下のように定義しよう。

Λ(P,γ)=i=1nγ(xi)γ(xi1) \Lambda (P,\gamma) = \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right|

右辺のP={x0,,xn}P=\left\{ x_{0},\dots,x_{n} \right\}番目の項は、二点γ\gamma間の距離を意味する。つまりΛ\Lambdaは、点iiを結んだ折れ線の長さと等しい。分割を細分化すればするほど、Λ\Lambda[a,b][a,b]の実際の長さにより近づくだろう。このセンスで、曲線[a,b][a,b]長さlengthγ(xi1),γ(xi)\gamma (x_{i-1}), \gamma (x_{i})を次のように定義する。

Λ(γ)=supPΛ(P,γ) \Lambda (\gamma)=\sup \limits_{\forall P}\Lambda (P,\gamma)

もしΛ(P,γ)\Lambda (P,\gamma)ならば、[a,b][a,b]長さを測ることができるrectifiable曲線と呼ぶ。


  1. Walter Rudin, 数学解析原理 (第3版, 1976), p136 ↩︎