📂解析学

部分積分法

定理 ¹

$F$、$G$が区間$[a,b]$で微分可能であり、$F^{\prime}=f$、$G^{\prime}=g$が積分可能であるとしよう。すると、次の式が成立する。

$$ \begin{align*} \int _{a} ^{b} F(x)g(x)dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int _{a} ^{b}f(x)G(x)dx \\ &= \left[ F(x)G(x) \right]_{a}^{b} -\int _{a} ^{b}f(x)G(x)dx \end{align*} $$

説明

この結果は部分積分法と呼ばれる。積分 - 微分 - 積分^{[積分]- $\int$ 微分 積分}と覚えると簡単だ。積分するものはそのまま左右に書き、微分するものは前にそのまま書き、後ろには微分して書く。

$$ \begin{align*} \int Fg &= \left[ FG \right] - \int fG \\ &= \left[ \text{그냥}\cdot\text{적분} \right] - \int \text{미분}\cdot\text{적분} \end{align*} $$

証明

微分可能なら連続であり、連続なら積分可能であるので、$F, G$も積分可能だ。今、$H(x)=F(x)G(x)$とする。すると、積の微分法則により、次が成立する。

$$ H^{\prime}(x)=F(x)g(x)+f(x)G(x) $$

積分は線形であり、関数の積は積分可能性を保持するので、$H^{\prime}$は積分可能だ。すると、微分積分学の基本定理2によって、$H^{\prime}$の定積分は次のように計算される。

$$ \begin{align*} && \int _{a} ^{b}H^{\prime}(x)dx &= H(b)-H(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}H^{\prime}(x)dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}F(x)g(x) + f(x)G(x) dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}F(x)g(x)dx &=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int _{a} ^{b}f(x)G(x) \end{align*} $$

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