📂レンマ

漸化式(ぜんかしき)

定義

数列$\left\{ a_{n} \right\}$が与えられているとしよう。この時、$a_{n}$を$a_{n-1}$、$a_{n-2}$、$\cdots$、$a_{1}$の関数で表した式を点化式^{recurrence relation}と言う。

説明

例えば自然数の数列$\left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}$は次のような点化式で表すことができる。

$$a_{n} = a_{n-1} + 1, \qquad a_{1} = 1$$

ルジャンドル多項式の係数は次のような点化式で表される。 したがって、$a_{0}$と$a_{1}$だけ知っていれば、すべての係数を求めることができる。

$$a_{n+2} = -\dfrac{(\ell + n + 1)(\ell - n)}{(n+1)(n+2)} a_{n}$$