📂ルベーグ空間

重み付きLp空間

定義¹

以下のように定義される関数空間を重み付き$L^{p}$空間あるいは具体的に**$w$-重み付き$L^{p}$空間**という。

$$ L_{w}^{p}(a,b):= \left\{ f : \mathbb{R}\to \mathbb{C}\ \big|\ \int_{a}^{b} \left| f(x) \right|^{p}w(x)dx <\infty \right\} $$

この時、$w:\mathbb{R}\to[0,\infty)$を重み関数という。

説明

$L^{p}$空間を一般化した空間の一つである。$w(x)=1$の場合に$L_{w}^{p}=L^{p}$が成立する。重み付き$L^{p}$空間のノルムは、$1\le p <\infty$に対して以下のように定義される。

$$ \left\| f\right\|_{p,w}=\left\| f\right\|_{L_{w}^{p}(a,b)}=\left( \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|^{p}w(x)dx \right)^{\frac{1}{p}} $$

$L_{w}^{p}$空間の定義により、上記の値が有限であることは自明だ。特に$p=2$の場合には、下記のように内積を定義することができる。

$$ \langle f,g \rangle_{L_{w}^{2}(a,b)}=\int_{a}^{b}f(x)\overline{g(x)}w(x)dx,\quad f,g \in L_{w}^{2}(\mathbb{R}) $$

$L^{2}$空間と同様に、ヒルベルト空間になる。