logo

テイラー級数とマクローリン級数 📂微分積分学

テイラー級数とマクローリン級数

ビルドアップ1

与えられた関数 ffを冪級数で表現するとする。

f(x)=c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+c3(x−a)3+⋯∣x−a∣<R(1) f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2}(x - a)^{2} + c_{3}(x - a)^{3} + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{1}

ここで、関数 ffの冪級数表現を具体的に見つけることは、各項の係数 cnc_{n}を求めることと同じだ。まず両辺に x=ax = aを代入すると、c0c_{0}を求めることができる。

f(a)=c0+c1(a−a)+c2(a−a)2+c3(a−a)3+⋯=c0 f(a) = c_{0} + c_{1}(a - a) + c_{2}(a - a)^{2} + c_{3}(a - a)^{3} + \cdots = c_{0}

(1)(1)を微分すると、次のようになる。

f′(x)=c1+2c2(x−a)+3c3(x−a)2+⋯∣x−a∣<R(2) f^{\prime}(x) = c_{1} + 2c_{2}(x - a) + 3c_{3}(x - a)^{2} + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{2}

両辺にx=ax = aを代入すると、c1c_{1}を求めることができる。

f′(a)=c1 f^{\prime}(a) = c_{1}

再度 (2)(2)を微分し、x=ax = aを代入すると、

f′′(x)=2c2+3⋅2c3(x−a)+⋯∣x−a∣<R(3) f^{\prime\prime}(x) = 2c_{2} + 3 \cdot 2c_{3}(x - a) + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{3}

f′′(a)=2c2 f^{\prime\prime}(a) = 2c_{2}

もう一度繰り返すと、

f′′′(x)=3⋅2c3+4⋅3⋅2c4(x−a)+⋯∣x−a∣<R f^{\prime\prime\prime}(x) = 3 \cdot 2c_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2c_{4}(x - a) + \cdots \qquad |x - a| \lt R

f′′′(a)=3⋅2c3 f^{\prime\prime\prime}(a) = 3 \cdot 2c_{3}

このように続けて、cnc_{n}が次のように表現できることがわかる。

f(n)(a)=n!⋅cn  ⟹  cn=f(n)(a)n! f^{(n)}(a) = n! \cdot c_{n} \implies c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}

したがって、(1)(1)は次のように表現される。

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n f(x) = f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n}

この時、右辺の級数をffのテイラー級数と定義する。

定義

無限に微分可能な関数ffのaaでのテイラー級数Taylor series of ff at aaを次のように定義する。

∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n} = f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots

説明

特にa=0a = 0での級数をマクローリン級数Maclaurin seriesと呼ぶ。

もしffが冪級数で表現されるなら、ffとffのテイラー級数は同じだ。しかし、ffのテイラー級数が常にffと同じとは限らない。特定の条件を満たせばffとffのテイラー級数が同じであることが証明されている。

ffとffのテイラー級数が異なる例1

次のような関数ffが与えられている。

f(x)={e−1/x2x≠00x=0 f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^{2}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

級数の係数を求めるためにf′(0)f^{\prime}(0)を求めてみよう。

lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0e−1/h2−0h=lim⁡h→01h⋅e−1/h2 \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^{2}} - 0}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot e^{-1/h^{2}}

ここで、数式を整理しロピタルの定理を使うと、

lim⁡h→01h⋅e−1/h2=lim⁡h→01/he1/h2=lim⁡h→0−1/h2−2e1/h2/h3=lim⁡h→0h2e1/h2=0 \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot e^{-1/h^{2}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1/h}{e^{1/h^{2}}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1/h^{2}}{-2e^{1/h^{2}}/h^{3}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h}{2e^{1/h^{2}}} = 0

同じ方法でn∈Nn \in \mathbb{N}についてf(n)=0f^{(n)} = 0であることを示すことができる。したがってffのマクローリン級数は次のようになる。

∑n=0∞f(n)(0)n!xn=∑n=0∞0n!xn=0 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{0}{n!}x^{n} = 0

しかし、明らかにx≠0x \ne 0についてf(x)≠0f(x) \ne 0ということから、ffとffのマクローリン級数は同じではないことがわかる。

  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p795-799 ↩︎ ↩︎