📂線形代数

畳み込みの一般的な定義

定義

積分変換 $J$と二つの関数 $f$、$g$が与えられたとする。以下の条件を満たす関数 $f \ast g$を$J$に対する$f$と$g$のコンボリューション^{convolution, 合成積}と定義する。

$$J(f \ast g)=(Jf)(Jg)$$

説明

定義によると、積の積分変換であるコンボリューションは、積分変換の積に分けられる。すなわち、一つの積分で束ねられていた二つの関数を二つの積分に分けることができるという意味である。積分で表されるforward operatorの逆変換を求める時に役立つテクニックである。

一般的にコンボリューションと言った場合は、具体的に言及しなくても、フーリエ変換のコンボリューションを指す。

フーリエ変換

$$(f \ast g)(x) =\int _{-\infty} ^{\infty}f(y)g(x-y)dy$$

ラプラス変換

$$(f \ast g)(x) = \int_{0}^{x}f(x-y)g(y)dy$$

メリン変換

$$( f\times g)(x)=\int _{0} ^{\infty} f(y)g \left( \frac{x}{y} \right)\frac{dy}{y}$$