📂ヒルベルト空間

内積空間とコーシー・シュワルツの不等式

定理¹

$(H, \langle \cdot ,\cdot \rangle)$を内積空間としよう。すると、以下の不等式が成り立ち、これをコーシー・シュワルツの不等式^{Cauchy-Schwarz inequality}という。

$$\left| \langle x,y \rangle \right| \le \langle x,x \rangle^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2},\quad \forall x,y \in H$$

説明

内積からノルムを定義できるので、次の式で表すこともできる。

$$\left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \le \left\| x \right\| \left\| y \right\|,\quad \forall x,y\in H$$

証明

• ケース 1. $x=0$ あるいは $y=0$

  一般性を失わずに$x=0$としよう。すると、内積の定義により

  $$\left| \langle 0,y \rangle \right| = \left| \langle 0x,y \rangle \right| =0\left| \langle x,y\rangle \right|=0$$

  よって成立する。

• ケース 2. $x\ne0$, $y\ne0$で、$\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$の場合

  内積の定義により

  $$\begin{align*} 0 \le& \left\langle x-\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y, x-\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y \right\rangle \\ =&\ \langle x,x \rangle - \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} \langle x,y \rangle -\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} \langle y,x \rangle +\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle^{2}}\langle y,y \rangle \end{align*}$$

  この時、$\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$なので、$\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x \rangle}=\langle y,x \rangle$である。したがって

  $$\begin{align*} 0 \le& \langle x,x \rangle - 2\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} \langle x,y \rangle +\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle^{2}}\langle y,y \rangle \\ =&\ \langle x,x \rangle - 2\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle} +\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle} \\ =&\ \langle x,x \rangle - \frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle} \end{align*}$$

  この時、$\langle y,y \rangle >0$なので、両辺にかければ

  $$\begin{align*} && 0 \le& \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle - \langle x,y \rangle ^{2} \\ \implies && \langle x,y \rangle ^{2} \le& \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle \\ \implies && \left| \langle x,y \rangle \right| \le& \langle x,x \rangle ^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2} \end{align*}$$

• ケース 3. $x\ne0$, $y\ne 0$で、$\langle x,y\rangle \in \mathbb{C}$の場合

  $\left| \lambda \right| =1$で、$\lambda \langle x,y \rangle\in [0,\infty)$を満たす$\lambda \in \mathbb{C}$を一つ選ぼう。すると

  $$\left| \langle x,y \rangle \right| =\left| \lambda \right| \left| \langle x,y \rangle \right|=\left| \lambda \langle x,y \rangle \right|= \lambda\langle x,y \rangle =\langle \lambda x,y \rangle$$

  よって、ケース 2により

  $$\begin{align*} \left| \langle x,y \rangle \right| =&\ \langle \lambda x,y \rangle \\ \le& \langle \lambda x, \lambda x \rangle ^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2} \\ =&\ \langle x,x\rangle^{1/2}\langle y,y\rangle ^{1/2} \end{align*}$$

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