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半線形（共役線形）関数

定義

関数 $f : X \to \mathbb{C}$が与えられたとする。$x,y\in X$、$a,b \in \mathbb{C}$に対して、下記の式が成立するなら、$f$を反線形^antilinearまたは共役線形^{conjugate linear}と言う。

$$f(ax + by)=\overline{a}f(x)+\overline{b}f(y)$$

説明

掛けられた定数が関数の内外で同じ線形関数と異なり、関数の内外で共役複素数である関数である。$a \in \mathbb{R}$であれば、$a=\overline{a}$なので、実数値関数がリニアであることはアンチリニアであることと同じ意味である。