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関数列の一様収束性と微分可能性 📂解析学

関数列の一様収束性と微分可能性

定理1

区間 [a,b][a, b]で微分可能な関数の数列 {fn:fn is differentiable on [a,b]}\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is differentiable on } [a, b] \right\}が点 x0∈[a,b]x_{0} \in [a, b]で点ごとに収束するとしよう。もし {fn′}\left\{ f_{n}^{\prime} \right\}が区間 [a,b][a, b]で一様に収束するならば、{fn}\left\{ f_{n} \right\}も区間 [a,b][a, b]で微分可能な関数 ffに一様収束し、次が成り立つ。

f′(x)=lim⁡n→∞fn′(x)a≤x≤b f^{\prime} (x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (x) \quad a \le x \le b

説明2

定理の結果を一言で表現すれば「極限の導関数と導関数の極限が等しい」ということだ。すなわち、限界記号と微分記号の順序を入れ替えることが可能である。

ddxlim⁡n→∞fn(x)=lim⁡n→∞ddxfn(x)a≤x≤b \dfrac{d}{dx} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (x) \quad a \le x \le b

微分に関して関数列の一様収束を考える理由は、第一に点ごとの収束が微分可能性を保持しないからだ(反例1)。第二に、fn→ff_{n} \to fであってffが微分可能だとしても、fn′→f′f_{n}^{\prime} \to f^{\prime}が成り立たないことがあるからだ。(反例2)。

反例1

微分可能な関数の関数列 fnf_{n}が ffに点ごとに収束することが、ffが微分可能であることを保証しない。

証明

関数 fn(x)=xnf_{n}(x) = x^{n}は [0,1][0, 1]で微分可能だ。そして関数 ffを次のように定義しよう。

f(x)={0if 0≤x<11if x=1 f (x) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le x \lt 1 \\ 1 & \text{if } x = 1 \end{cases}

すると、すべての点 x∈[0,1]x \in [0, 1]で fn(x)f_{n}(x)は f(x)f(x)に点ごとに収束する。しかし明らかに ffは x=1x = 1で微分不可能である。

■

反例2

区間 [0,1][0, 1]で fn→ff_{n} \to fであるが、

lim⁡n→∞fn′(x)≠(lim⁡n→∞fn(x))′ for x=1 \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (x) \ne \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) \right)^{\prime} \quad \text{ for } x=1

が成り立つある微分可能な関数 fnf_{n}と ffが存在する。

証明

fn(x)=xnnf_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n}および f(x)=0f(x) = 0としよう。すると区間 [0,1][0, 1]で

xn→0 and n→∞ as n→∞ x^{n} \to 0 \text{ and } n \to \infty \quad \text{ as } n \to \infty

ゆえに fn→ff_{n} \to fである。しかし fn′(x)=xn−1f_{n}^{\prime} (x) = x^{n-1}より fn′(1)=1f_{n}^{\prime} (1) = 1である。したがって

1=lim⁡n→∞fn′(1)≠(lim⁡n→∞fn(1))′=0 1 = \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (1) \ne \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(1) \right)^{\prime} = 0

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証明

仮定: fn(x0)→f(x0)f_{n}(x_{0}) \to f(x_{0})および fn′f^{\prime}_{n}が一様収束する。

小さな正数 ϵ>0\epsilon \gt 0が与えられたとしよう。すると収束する数列とコーシー数列は同値なので、仮定により次が成り立つ正数 NNを選ぶことができる。

n,m≥N  ⟹  ∣fn(x0)−fm(x0)∣<ϵ2  (1)and∣fn′(t)−fm′(t)∣<ϵ2(b−a)(a≤t≤b)(2) n, m \ge N \implies \begin{array}{l} |f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0})| \lt \dfrac{\epsilon}{2} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ (1) \\[0.5em] \text{and} \\[0.5em] |f_{n}^{\prime} (t) - f_{m}^{\prime} (t)| \lt \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \quad (a \le t \le b) \qquad (2) \end{array}

そして関数 fn−fmf_{n} - f_{m}に平均値の定理を適用すると (2)(2)とともに次を得る。n,m≥Nn ,m \ge Nかつ x,t∈[a,b]x, t \in [a, b]について、

∣(fn(x)−fm(x))−(fn(t)−fm(t))∣=∣x−t∣∣fn′(s)−fm′(s)∣(t≤s≤x)<∣x−t∣ϵ2(b−a)=ϵ2∣x−t∣(b−a)<ϵ2(3) \begin{aligned} \left| \left( f_{n}(x) - f_{m}(x) \right) - \left( f_{n}(t) - f_{m}(t) \right) \right| &= |x - t| \left| f_{n}^{\prime} (s) - f_{m}^{\prime} (s) \right| \quad (t \le s \le x) \nonumber \\ &\lt |x - t|\dfrac{\epsilon}{2(b - a)} = \dfrac{\epsilon}{2} \dfrac{|x - t|}{(b - a)} \nonumber \\ &\lt \dfrac{\epsilon}{2} \end{aligned} \tag{3}

そして (1)(1)および (3)(3)から次の不等式が成り立つ。n,m≥Nn, m \ge Nかつ x∈[a,b]x \in [a, b]について、

∣fn(x)−fm(x)∣=∣fn(x)−fm(x)+[fn(x0)−fn(x0)]+[fm(x0)−fm(x0)]∣<∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣+∣fn(x0)−fm(x0)∣<ϵ2+ϵ2=ϵ \begin{align*} \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| &= \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) + \big[f_{n}(x_{0}) - f_{n}(x_{0})\big] + \big[f_{m}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \big] \right| \\ &\lt \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) - (f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0})) \right| + \left| f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \right|\\ &\lt \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}

このとき、こうした NNは xxと無関係に選ばれているので、fnf_{n}は区間 [0,1][0, 1]で一様収束する。極限を f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) (a≤x≤b)(a \le x \le b)としよう。

今、x∈[a,b]x \in [a, b]を一つ固定して、関数 ϕn\phi_{n}および ϕ\phiを次のように定義しよう。

ϕn(t)=fn(t)−fn(x)t−x,ϕ(t)=f(t)−f(x)t−x(x≠t∈[a,b]) \phi_{n}(t) = \dfrac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x},\qquad \phi(t) = \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} \quad (x \ne t \in [a,b])

すると、次が成り立つ。

lim⁡t→xϕn(t)=lim⁡t→xfn(t)−fn(x)t−x=fn′(x) \lim\limits_{t \to x} \phi_{n}(t) = \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x} = f_{n}^{\prime} (x)

また (3)(3)の最初の不等式から次を得る。

∣ϕn(t)−ϕm(t)∣<ϵ2(b−a)(n,m≥N) \left| \phi_{n}(t) - \phi_{m}(t) \right| \lt \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \qquad (n, m \ge N)

したがって ϕn\phi_{n}は t≠xt \ne xに一様収束する。fn→ff_{n} \to fゆえに、

ϕn(t)⇉ϕ(t) or lim⁡n→∞ϕn(t)=ϕ(t)(a≤t≤b,t≠x) \phi_{n}(t) \rightrightarrows \phi(t) \quad \text{ or } \quad \lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}(t) = \phi (t) \quad (a \le t \le b, t \ne x)

一様収束と連続性

もし距離空間 EE上で fn⇉ff_{n} ⇉ fならば、EEの集積点 xxについて次が成り立つ。

lim⁡t→xlim⁡n→∞fn(t)=lim⁡n→∞lim⁡t→xfn(t) \lim\limits_{t \to x}\lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(t) = \lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{t \to x} f_{n}(t)

ϕn⇉ϕ on [a,b]∖{x}\phi_{n} ⇉ \phi \text{ on } [a,b]\setminus \left\{ x \right\}なので、上の定理を ϕn\phi_{n}に適用すると次が成り立つ。

lim⁡t→xlim⁡n→∞ϕn(t)=lim⁡n→∞lim⁡t→xϕn(t)  ⟹  lim⁡t→xϕ(t)=lim⁡n→∞fn′(x)  ⟹  lim⁡t→xf(t)−f(x)t−x=lim⁡n→∞fn′(x)  ⟹  f′(x)=lim⁡n→∞fn′(x) \begin{align*} && \lim\limits_{t \to x}\lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}(t) &= \lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{t \to x} \phi_{n}(t) \\ \implies && \lim\limits_{t \to x} \phi(t) &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \\ \implies && \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \\ \implies && f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \end{align*}

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  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p152-153 ↩︎

  2. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p222-223 ↩︎