導関数と関数の増減の関係
定理
関数 $f$が$(a,b)$で微分可能だとしよう。
もし、すべての$x\in (a,b)$に対して$f^{\prime}(x) \ge 0$が成り立つならば、$f$は単調増加する。
もし、すべての$x\in (a,b)$に対して$f^{\prime}(x)=0$が成り立つならば、$f$は定数関数だ。
もし、すべての$x\in (a,b)$に対して$f^{\prime}(x) \le 0$が成り立つならば、$f$は単調減少する。
証明
平均値の定理から、すべての$x_{1},x_{2}\in (a,b)$と$x \in (x_{1},x_{2})$に対して以下が成り立つ。
$$ f(x_{2}) - f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})f^{\prime}(x) $$
$x_{2}-x_{1}>0$であり、$f^{\prime}(x)\ge 0$ならば$f(x_{2})-f(x_{1})\ge 0$であり、これは$f$が単調増加関数であることを意味する。
他の場合も同様に成り立つ。
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