📂動力学

自律システムのオメガリミットセット

定義

距離空間 $X$ と関数 $f : X \to X$ について、次のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとしよう。 $$ \dot{x} = f(x) $$ このベクトル場のフロー $\phi ( t, x )$ と一点 $x_{0} \in X$ について、$t_{i} \to \infty$ の時 $$ \phi \left( t_{i} , x_{0} \right) \to x $$ を満たす時間のシーケンス $\left\{ t_{i} \right\} \subset \mathbb{R}$ が存在するならば、$ x \in X$ を $x_{0}$ のオメガリミットポイントと言う。$x_{0}$ のオメガリミットポイントの集合を$x_{0}$ のオメガリミットセットと言い、$\omega \left( x_{0} \right)$ のように表される。

説明

上の定義で他の部分をそのままに $t_{i} \to - \infty$ に変えると、アルファリミットポイント、アルファリミットセットになり、$\alpha \left( x_{0} \right)$ のように変わる。アルファとオメガは、それぞれギリシャ文字の最初と最後を意味し、時間が過去の無限大（始め）に向かう場合は$\alpha \left( x_{0} \right)$ を、未来の無限大（終わり）に向かう場合は$\omega \left( x_{0} \right)$ を扱うので、直感的に意味のある命名だと言える。リミットポイントは集積点に翻訳され、与えられたフローが時間が過去に流れるのか未来に流れるのかに注意を払う点で、位相数学とは異なる。もちろん、ほとんどの場合、関心があるのは未来、つまりオメガリミットだろう。

私たちのシステムが常微分方程式で定義されている限り、$x_{0}$ を初期位置とするオメガリミットセットは、曲線の形をしたり、一点になる可能性が高い。点が移動して領域を形成することはあり得ないわけではないが、ベクトル場の定義によれば、そのようなことは事実上不可能と考えるべきだ。

特性

オメガリミットセットの特性: ¹全体の空間がユークリッド空間 $X = \mathbb{R}^{n}$ であり、フロー $\phi_{t} ( \cdot )$ 内のコンパクト 不変集合 $\mathcal{M}$ の一点 $p \in \mathcal{M}$ が与えられているとする。

• [1]: $\omega (p) \ne \emptyset$
• [2]: $\omega (p)$ は閉集合である。
• [3]: $\omega (p)$ はフローに不変である。つまり、$\omega (p)$ は軌道の合併である。
• [4]: $\omega (p)$ は連結空間である。

これらの性質はアルファリミットについても同じである。

特性 [1] の証明

$p \in \mathcal{M}$ と $\displaystyle \lim_{k \to \infty} t_{k} = \infty$ の時間のシーケンス $\left\{ t_{k} \right\} \subset \mathbb{R}$ に関して、次のような集合 $\Phi (p) \subset \mathcal{M}$ を定義しよう。 $$ \Phi (p) := \left\{ p_{k} : p_{k} = \phi_{t_{k}} (p) \right\} $$ $\mathcal{M}$ はコンパクトなので、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、$\omega (p)$ の一点に収束する $\Phi (p)$ のサブシーケンスが存在し、したがって$\omega (p) \ne \emptyset$

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特性 [2]の証明

$\omega (p)^{c}$ がオープンセットであることを示せば充分である。$\omega (p)$ の外に任意の点 $q \notin \omega (p)$ を取り、ある $T > 0$ に対して $$ \left\{ \phi_{t} (p) : t \ge T \right\} \cap \mathcal{N} (q) = \emptyset $$ を満たす $q$ の近傍 $\mathcal{N} (q)$ が存在しなければならない。つまり、$q$ は $\omega (p)$ とは素な何らかのオープンセットに含まれなければならず、$q$ は$\omega (p)$ の外から任意に選んだものなので、$\omega (p)^{c}$ はオープンセットである必要がある。

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特性 [3]の証明

まず、すべての$q \in \omega (p)$と$s \in \mathbb{R}$に対して$\phi_{s} ( q )$が存在すると仮定しよう。この仮定は本来証明が必要であり可能だが、内容に対して大きな意味がないように思えるので省略する。 $$ q \in \omega (p) \\ \widetilde{q} := \phi_{s} (q) $$ として、$\lim_{k \to \infty } t_{k} = \infty$ の時 $\phi_{t_{k}} (p) \to q$ となるような時間のシーケンス $\left\{ t_{k} \right\} \subset \mathbb{R}$ を取ろう。すると $$ \phi_{t_{k} + s} (p) = \phi_{s} \left( \phi_{t_{k} } (p) \right) \to \widetilde{q} $$ となるので、$\widetilde{q} \in \omega (p)$ であり、したがって $\omega (p)$ は不変である。

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特性 [4]の証明

$\omega (p)$ が連結空間でないと仮定すると、次を満たすオープンセット $V_{1} , V_{2} \subset \mathbb{R}^{n}$ が存在する。 $$ \omega (p) \subset V_{1} \cap V_{2} \\ \omega (p) \cap V_{1} \ne \emptyset \\ \omega (p) \cap V_{2} \ne \emptyset \\ V_{1} \cap V_{2} = \emptyset $$ それに対して$K := \mathcal{M} \setminus \left( V_{1} \cup V_{2} \right)$としよう。$V_{1}, V_{2}$ の定義によれば、$p \in \mathcal{M}$の軌道は$V_{1}, V_{2}$の両側に必ずまたがってしまう。そして、すべての$T > 0$に対して$\phi_{t} (p) \in K$を満たす$t > T$が存在するので、$k \to \infty$ の時、$t_{k} \to \infty$であって$\phi_{t_{k}} (p) \in K$ の時間のシーケンス $\left\{ t_{k} \right\}$ を取ることができる。$V_{1}$ と $V_{2}$ が離れていても$\omega (p)$と互いに素ではないため、$\phi_{t}$が$V_{1}$や$V_{2}$のどちらか一方に永遠に留まることはできず、反対側に渡って行く途中で$K$ を通過するしかないためである。$V_{1} , V_{2}$はオープンセットなので、$K$はコンパクトであり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、$\phi_{t_{k}} (p)$が$q \in K$に収束する$\left\{ t_{k} \right\}$のサブシーケンスが存在するが、これは結局$q \notin V_{1} \cup V_{2}$である。しかし、オメガリミットセットの定義から$q \in \omega (p)$でなければならないため、$\omega (p) \subset V_{1} \cap V_{2}$と矛盾する。したがって、$\omega (p)$は連結空間である。

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