📂解析学

微分可能な関数の性質

定理¹

$f, g : [a,b] \to \mathbb{R}$としよう。もし$f,g$が$x\in [a,b]$で微分可能であれば、$f+g$、$fg$、$f/g$も$x$で微分可能であり、以下の式が成立する。

$$ \begin{align} (f+g)^{\prime}(x) &=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \\ (fg)^{\prime}(x) &= f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) \\ \left( \frac{f}{g} \right)^{\prime}(x) &= \frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)} \end{align} $$

ただし、$(3)$は$g(x)\ne 0$のときに成立する。

説明

$(2)$は一般に乗法の微分法則と呼ばれる。

証明

$(1)$

微分の定義と関数の極限の性質により、以下が成立する。

$$ \begin{align*} (f+g)^{\prime}(x) &=\lim \limits_{t \to x} \frac{(f+g)(x)-(f+g)(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{t \to x} \frac{(f(x)+g(x))-(f(t)+g(t))}{x-t} \\ &= \lim \limits_{t \to x} \frac{(f(x)-f(t))+(g(x)+g(t))}{x-t} \\ &= \lim \limits_{t \to x} \left[ \frac{f(x)-f(t)}{x-t}+\frac{g(x)+g(t)}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{t \to x} \frac{f(x)-f(t)}{x-t}+ \lim \limits_{t \to x}\frac{g(x)+g(t)}{x-t} \\ &= f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \end{align*} $$

■

$(2)$

微分の定義と関数の極限の性質により、以下が成立する。

$$ \begin{align*} (fg)^{\prime}(x) &= \lim \limits_{t \to x} \frac{(fg)(x)-(fg)(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{t \to x}\frac{f(x)g(x)-f(t)g(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{t \to x}\frac{f(x)g(x) {\color{blue}-f(t)g(x)+f(t)g(x)}-f(t)g(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{t \to x}\left[ \frac{f(x)g(x) -f(t)g(x)}{x-t} + \frac{f(t)g(x)-f(t)g(t)}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{t \to x}\left[ \frac{f(x) -f(t)}{x-t}g(x) + f(t)\frac{g(x)-g(t)}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{t \to x} \left[\frac{f(x) -f(t)}{x-t}g(x)\right] + \lim \limits_{t \to x} \left[ f(t)\frac{g(x)-g(t)}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{t \to x}\frac{f(x) -f(t)}{x-t}\lim \limits_{t \to x}g(x) + \lim \limits_{t \to x} f(t)\lim \limits_{t \to x}\frac{g(x)-g(t)}{x-t} \\ &= f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) \end{align*} $$

■

$(3)$

$(2)$と同様の方法で証明される。

$$ \begin{align*} \left( \frac{f}{g} \right)^{\prime}(x) &= \lim \limits_{ t \to x } \frac{(f/g)(x) -(f/g)(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{ t \to x } \frac{f(x)/g(x) -f(t)/g(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{ t \to x } \frac{f(x)/g(x) {\color{blue}-f(x)/g(t)+f(x)/g(t)}- f(t)/g(t)}{x-t} \\ &= \lim \limits_{ t \to x } \left[ \frac{f(x)/g(x) - f(x)/g(t) }{x-t}+\frac{f(x)/g(t)-f(t)/g(t)}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{ t \to x } \left[ \frac{\frac{f(x){\color{blue}g(t)}}{g(x){\color{blue}g(t)}} -\frac{f(x){\color{blue}g(x)}}{g(t){\color{blue}g(x)}} }{x-t}+\frac{\frac{f(x){\color{blue}g(x)}}{g(t){\color{blue}g(x)}}-\frac{f(t){\color{blue}g(x)}}{g(t){\color{blue}g(x)}}}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{ t \to x } \frac{1}{g(x)g(t)} \left[ {\color{red}\frac{f(x)g(t)-f(x)g(x) }{x-t}}+\frac{f(x)g(x)-f(t)g(x)}{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{ t \to x }\frac{1}{g(x)g(t)} \left[\frac{f(x)g(x)-f(t)g(x)}{x-t}{\color{red}-\frac{f(x)g(x)-f(x)g(t) }{x-t}} \right] \\ &= \lim \limits_{ t \to x }\frac{1}{g(x)g(t)} \left[\frac{f(x)-f(t)}{x-t}g(x)-f(x)\frac{g(x)-g(t) }{x-t} \right] \\ &= \lim \limits_{ t \to x }\frac{1}{g(x)g(t)} \lim \limits_{ t \to x } \left[\frac{f(x)-f(t)}{x-t}g(x)-f(x)\frac{g(x)-g(t) }{x-t} \right] \\ &= \frac{1}{g^{2}(x)}\left[ f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x) \right] \\ &= \frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)} \end{align*} $$

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