📂量子力学

コンプトン散乱

公式

入射光の波長を$\lambda$、散乱された光子の波長を$\lambda^{\prime}$としよう。このとき、以下の式が成り立つ。

$$ \lambda^{\prime} -\lambda = \frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta) $$

ここで、$h$はプランク定数、$m_{e}$は電子の質量、$c$は光の速度、$\theta$は散乱角である。エネルギーについて表すと

$$ \cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E} $$

説明

コンプトン散乱¹は、X線が電子と出会ったときにX線と電子がはじけ飛ぶ現象のことをいう。このとき、散乱されたX線は波長が長くなり、エネルギーの観点ではエネルギーが減少することになる。これはX線、すなわち光が粒子の性質を持っている証拠になる。

$ \lambda ^{\prime}-\lambda=\dfrac{h}{m_{e} c}(1-\cos\theta) > 0$が成り立つので、衝突後の光の波長は長くなる。これは実験結果と良く一致し、光が粒子の性質を持っていることを裏付けてくれる。

導出

戦略: 運動量保存則とエネルギー保存則を使用して結果を導き出す。

衝突前の光子の運動量を$\mathbf{p}_\gamma$、衝突前の電子の運動量を$\mathbf{p}_{e}$、衝突後の光子の運動量を$\mathbf{p}_\gamma^{\prime}$、衝突後の電子の運動量を$\mathbf{p}_{e}^{\prime}$としよう。

Part 1. 運動量保存則

衝突後の電子については情報がないので、$\mathbf{p}_{e}^{\prime}$について整理しよう。

$$ \mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}+\mathbf{p}_{e}^{\prime} $$

衝突前の電子は静止状態にあるので$\mathbf{p}_{e}=0$である。

$$ \mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}-\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}=\mathbf{p}_{e}^{\prime} $$

光子の静止質量は$0$なので$ p_\gamma=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h\nu}{c}$であり、これを代入すると

$$ \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta=(p_{e}^{\prime})^2\tag{1} $$

Part 2. エネルギー保存則

今、衝突前の光子のエネルギーを$E_\gamma$、衝突後の光子のエネルギーを$E_{\gamma}^{\prime}$、衝突前の電子のエネルギーを$E_{e}$、衝突後の電子のエネルギーを$E_{e}^{\prime}$としよう。すると

$$ \begin{align*} && E_{\gamma}^{\prime}+E_{e}^{\prime} &= E_\gamma+E_{e} \\ \implies && E_{e}^{\prime} &= E_\gamma+E_{e}-E_{\gamma}^{\prime} \\ \implies && (E_{e}^{\prime})^2 &= (E_\gamma+E_{e}-E_{\gamma}^{\prime})^2 \\ \implies && (E_{e}^{\prime})^2 &= (E_\gamma)^2+(E_{e})^2+(E_{\gamma}^{\prime})^2+2E_\gamma E_{e}-2E_\gamma E_{\gamma}^{\prime}-2E_{e}E_{\gamma}^{\prime} \end{align*} $$

光子のエネルギーは$E=h\nu$であり、相対論的エネルギーは$ E=\sqrt{(mc^2)^2+p^2c^2}$であるので $$ h^2\nu^2+m_{e}^2c^4+h^2{\nu^{\prime}}^{2}+2h\nu m_{e}c^2-2h^2\nu\nu^{\prime}-2m_{e}c^2h\nu^{\prime}=m_{e}c^4+(p_{e}^{\prime})^2c^2 $$ $(p_{e}^{\prime})^2$について整理すると $$ \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}=(p_{e}^{\prime})^2 \tag{2} $$

Part 3. $(1)$と$(2)$によって

$$ \begin{align*} && \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta&=\ \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2} \\ \implies && -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta& =2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2} \\ \implies && 2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime})&=\ \frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta) \\ \implies && (\nu-\nu^{\prime})&=\ \frac{h}{m_{e}}\frac{\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta) \end{align*} $$

両辺に$\nu\nu^{\prime}$を割り、cを掛けると

$$ \frac{c}{\nu^{\prime}}-\frac{c}{\nu}=\frac{h}{m_{e}}\frac{1}{c}(1-\cos\theta) $$

$\displaystyle \lambda=\frac{c}{\nu}$であるので

$$ \lambda ^{\prime}-\lambda=\frac{h}{m_{e} c}(1-\cos\theta) $$

$E=h\nu=\dfrac{ hc }{ \lambda }$なので上の式をよく整理すると

$$ \cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E} $$

■