📂偏微分方程式

偏微分方程式

定義¹

偏微分方程式

自然数$k \in \mathbb{N}$と、開集合$U \subset \mathbb{R}^{n}$に対して、次の表現を**$k$次の偏微分方程式**と呼ぶ。

$$ \begin{equation} F(D^{k}u(x), D^{k-1}u(x),\cdots,Du(x),u(x),x)=0\quad (x\in U) \end{equation} $$

ここで、$D^{k}u$は多重指数表記である。$F$は次のように与えられ、未知数$u$は次のようである。

$$ F : {\mathbb{R}}^{n^{k}}\times{\mathbb{R}}^{n^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}\times U \to \mathbb{R} \\ u : U \to \mathbb{R} $$

偏微分方程式の連立

与えられた$\mathbf{F} : {\mathbb{R}}^{mn^{k}}\times{\mathbb{R}}^{mn^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^{mn}\times \mathbb{R}^{m}\times U \to \mathbb{R}^{m}$と未知数$\mathbf{u}:U \to \mathbb{R}^{m}$、$\mathbf{u}=(u^{1},\cdots,u^{m})$に対して、下記の表現

$$ \mathbf{F}(D^{k}\mathbf{u}(x),D^{k-1}\mathbf{u}(x),\cdots,D\mathbf{u}(x),\mathbf{u}(x),x)=\mathbf{0}\quad (x\in U) $$

を**$k$次の偏微分方程式システム**と呼ぶ。

説明

偏微分方程式は、よくPDEと略される。PDEを解くことは、$(1)$を満たす$u$を全て見つけ出すことを意味し、そのような$u$をソリューションと呼ぶ。

ソリューションを見つけることは、

1. 理想的には、簡単で明示的なソリューションを見つけることを意味する、
2. それが不可能なときは、解の存在や他の特徴を明らかにすることを意味する。

ほとんどの場合、偏微分方程式での$U, \Omega \subset \mathbb{R}^{n}$は開集合を意味し、変数$t$は常に時間を意味し、$t\ge 0$である。また、

$$ Du=D_{x}u=(u_{x_{1}},\cdots,u_{x_{n}}) $$

は$u$のグラディエントを意味する。このとき、$x=(x_{1},\cdots,x_{n})$である。

分類

偏微分方程式は、線形性に基づいて以下のように分類できる。

線形

偏微分方程式$(1)$が、与えられた関数$a_{\alpha}, f$に対して、次の式を満たす場合、線形と言われる。

$$ \sum _{| \alpha | \le k} a_{\alpha}(x) D^{\alpha} u = f(x) $$

$f=0$の場合、同質の線形PDEと呼ぶ。線形ではない場合、非線形と呼ぶ。2次の線形偏微分方程式はさらに以下のように分類される。

• 双曲型PDE
• 放物型PDE
• 楕円型PDE

半線形

偏微分方程式$(1)$が次を満たす場合、半線形と呼ぶ。

$$ \sum _{| \alpha | = k} a_{\alpha}(x) D^{\alpha} u + a_{0}\left( D^{k-1}u, \dots, Du, u, x \right) = 0 $$

言い換えると、半線形pdeは、オーダーが$k$^{最も高いオーダー}の導関数の係数が$x$にのみ依存する偏微分方程式を意味する。例としては、

• 反応-拡散方程式 $$ u_{t} - \Delta u = f(u) \qquad (\text{e.g. } f(u) = u^{2}) $$

準線形

偏微分方程式$(1)$が次を満たす場合、準線形と呼ぶ。

$$ \sum _{| \alpha | = k} a_{\alpha}(D^{k-1}u, \dots, Du, u, x)D^{\alpha} u + a_{0}\left( D^{k-1}u, \dots, Du, u, x \right) = 0 $$

例としては、

• 粘性のないバーガース方程 $$ u_{t} + uu_{xx} = 0 $$

完全非線形

準線形ではない非線形方程式を完全非線形と言う。