📂数理物理学

曲線座標系におけるベクトル関数の発散

定理

曲線座標系でのベクトル関数$\mathbf{F}=\mathbf{F}(q_{1},q_{2},q_{3})=F_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+F_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+F_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3}$のダイバージェンスは以下の通りである。

$$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left[ \frac{ \partial }{ \partial q_{1} }(h_{2}h_{3}F_{1})+\frac{ \partial }{ \partial q_{2} }(h_{1}h_{3}F_{2})+\frac{ \partial }{ \partial q_{3} }(h_{1}h_{2}F_{3}) \right]$$

$h_{i}$はスケールファクターである。

公式

• 直交座標系:

  $$h_{1}=h_{2}=h_{3}=1$$

  $$\begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{F} =\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{align*}$$

• 円筒座標系:

  $$h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1$$

  $$\begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{F} &= \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{\partial (F_{\phi})}{\partial \phi} + \frac{\partial (\rho F_{z})}{\partial z} \right) \\ &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{align*}$$

  • 球座標系:

  $$h_{1}=1,\quad h_{2}=r\quad, h_{3}=r\sin\theta$$

  $$\begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{F} &= \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\left( \frac{\partial (r^{2}\sin\theta F_{r})}{\partial r}+\frac{\partial (r\sin\theta F_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial (rF_{\phi})}{\partial \phi} \right) \\ &= \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial (r^{2} F_{r})}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin\theta F_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} \end{align*}$$

導出

3次元デカルト座標系で、ベクトル関数$\mathbf{F}$のダイバージェンス$\nabla \cdot \mathbf{F}$は$\mathbf{F}$がどのように流れるかを教えてくれた。曲線座標系でも同じ方法でダイバージェンスを得ることができる。まずは$q_{1}$軸方向だけで計算してみよう。$d\mathbf{a}_{1}$と$d\mathbf{a}_{2}$を通過する量は、2つのベクトルの内積で計算することができる。計算はデカルト座標系と同じなので、一部は省略する。

$$\begin{align*} \mathbf{F}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})\cdot d\mathbf{a}_{1} &= F_{1}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3} \\ \mathbf{F}(q_{1},q_{2},q_{3})\cdot d\mathbf{a}_{2} &=- F_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3} \end{align*}$$

そして、これら2つの和が流入量（流出量）だ。

$$\begin{align*} &F_{1}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}- F_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3} \\ =& \frac{F_{1}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}- F_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3} }{dq_{1}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\ \approx &\frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \end{align*}$$

同じ方法で$q_{2}$と$q_{3}$について計算すると次のようになる。

$$\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}\quad \text{and} \quad \frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$$

これらをすべて加えると$\mathbf{F}$が入ってくるか出ていく量になり、体積$dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$で割ると単位体積あたりの流入量（流出量）になる。

$$\begin{align*} & \frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}+\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}+\frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\ =&\ \left( \frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}+\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}+\frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}} \right)dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\ \frac{1}{dV}\times \implies &\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left( \frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}+\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}+\frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}} \right) \end{align*}$$

■

参照

• 曲線座標系でのグラディエント、ダイバージェンス、カール、ラプラシアンの公式
• グラディエント（傾き）
• ダイバージェンス（発散）
• カール（回転）
• ラプラシアン