曲線座標系でのスカラー関数の勾配
概要
曲線座標系でスカラー関数の$f=f(q_{1},q_{2},q_{3})$の勾配は次の通りだ。
$$ \nabla f= \frac{1}{h_{1}}\frac{ \partial f }{ \partial q_{1} } \hat{\mathbf{q}}_{1} + \frac{1}{h_{2}}\frac{ \partial f }{ \partial q _{2}}\hat{\mathbf{q}}_{2}+\frac{1}{h_{3}}\frac{ \partial f }{ \partial q_{3} } \hat{\mathbf{q}}_{3}=\sum \limits _{i=1} ^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{i}}\hat{\mathbf{q}}_{i} $$
$h_{i}$はスケール因子だ。
公式
直交座標系:
$$ h_{1}=h_{2}=h_{3}=1 $$
$$ \nabla f= \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}} }+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$
円筒座標系:
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$
$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$
球座標系:
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r\quad, h_{3}=r\sin\theta $$
$$ \nabla f= \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{\hat r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \boldsymbol{\hat \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} $$
導出
三次元デカルト座標系で、以下の式を満たす$\mathbf{a}$を$f$の勾配と名付け、$\nabla f$と記されると定義した。
$$ d f =\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} $$
任意の曲線座標系でもこのように定義する。$f$の全微分は下の通りだ。
$$ d f = \frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }dq_{1}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{3}}dq_{3} $$
曲線座標系での位置ベクトル$\mathbf{r}$の微小変化量は次の通りだ。
$$ d\mathbf{r}=h_{1}dq_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+h_{2}dq_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+h_{3}dq_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3} $$
これから、以下の式を満たす$\mathbf{a}$を探求する。
$$ \begin{equation} df=\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} \end{equation} $$
$\mathbf{a}=a_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+a_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+a_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3}$とすると、$(1)$は下の通りだ。
$$ \frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }dq_{1}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{3}}dq_{3} = a_{1}h_{1}dq_{1}+a_{2}h_{2}dq_{2}+a_{3}h_{3}dq_{3} $$
ゆえに$a_{i}=\dfrac{1 }{h_{i}}\dfrac{ \partial f}{ \partial q_{i} }$であり、次が成立する。
$$ \quad \mathbf{a}=\frac{1 }{h_{1}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }\hat{\mathbf{q}}_{1}+\frac{1 }{h_{2}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{2} }\hat{\mathbf{q}}_{2}+\frac{1 }{h_{3}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{3} }\hat{\mathbf{q}}_{3} $$
これで上記のベクトル$\mathbf{a}$を$f$の勾配と定義し、$\nabla f$と表記する。
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