📂シュワルツ超函数

超関数と滑らかな関数の積

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超関数は定義域が関数空間であるため、実数空間で定義された関数との乗算ができない。しかし、正則超関数の場合、対応する局所積分可能な関数 $u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$が存在し、以下のように表される。

$$T_{u}(\phi)=\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

したがって、$u$に適用される何らかの作用 $S$によって$Su=u^{\prime}$を得られるが、依然として$u^{\prime}$が局所積分可能な関数であれば、それに対応する超関数 $T_{u^{\prime}}$が存在する。したがって、$u$に対する作用 $S$を$T_{u}$に対する作用と考えるというわけだ。このアイデアを超関数全体に拡張して、超関数と関数の乗算を定義しようとしている。

関数$f \in C^{\infty}$が与えられたとしよう。すると、$u$との乗算、つまり$fu$も依然として局所積分可能である。したがって、下記のように対応する超関数が存在する。

$$\begin{align*} T_{fu}(\phi) &= \int f(x)u(x)\phi (x) dx \\ &= \int u(x)\left( f(x)\phi (x) \right)dx \\ &=T_{u}(f\phi) \end{align*}$$

定義¹

スムーズな関数 $f$と超関数 $T$の乗算を以下のように定義する。

$$f(x)T(\phi):=T(f\phi)$$