ヒルベルト空間における弱収束
定義
$(H,\langle \cdot \rangle)$をヒルベルト空間、$\left\{ x_{n} \right\}$を$H$の数列としよう。全ての$y\in H$に対して下の式が成り立つ時、$\left\{ x_{n} \right\}$は弱収束するconverge weaklyと言い、$x_{n} \rightharpoonup x$と表す。 $$ \langle x_{n}, y \rangle \to \langle x , y \rangle ,\quad \forall y\in H $$
weakのwから、次のように表記することもある。
$$ x_{n} \overset{\text{w}}{\to} x $$
または、
$$ x_{n} \to x \quad \text{weakly} $$
と表記する。
説明
弱収束ではないことを強調するために、通常の収束を強く収束するとも言う。つまり、
$$ \begin{align*} &x_{n} \text{ converges to } x \\ =\ & x_{n} \text{ converges in norm to } x \\ =\ & x_{n} \text{ converges strongly to } x \end{align*} $$
一方で、弱収束という命名は、実際に収束を保証しないためである。逆に、ノルム収束は距離空間での収束と本質的に同じであるため、多くの場合、ノルム収束と収束を厳密に区別しない。ノルム空間では、距離を次のように定義できる。
$$ d(x,y):=\left\| x-y \right\|,\quad x,y\in H $$
すると、$\lim \limits_{n \to \infty}x_{n}=x$を満たす$\left\{ x_{n} \right\}$に対して、
$$ \lim \limits_{n \to \infty} d(x_{n},y)=d(x_{n},y) \iff \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x_{n}-y \right\| =\left\| x-y \right\| $$
が成り立つ。しかし、内積の場合には成り立たないことがわかる。コーシー・シュワルツの不等式により、次の式を得る。
$$ \left| \left\langle x_{n} , y \right\rangle \right| \le \left\| x_{n} \right\| \left\| y \right\| $$
だから、
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x_{n}-x \right\|=0 \begin{array}{c} \implies \\ \ \ \not \!\!\!\!\impliedby \end{array} \lim \limits_{n \to \infty} \left\langle x_{n}-x,y \right\rangle=0,\ \forall y\in H $$
がわかる。
$$ x_{n} \to x \implies x_{n} \rightharpoonup x $$
証明
$x_{n} \to x$と仮定しよう。それから、コーシー・シュワルツの不等式により、
$$ \begin{align*} \left| \langle x_{n},y \rangle -\langle x,y \rangle \right| &= \left| \langle x_{n}-x, y \rangle \right| \\ & \le \left\| x_{n}-x \right\| \left\| y \right\| \end{align*} $$
$\lim \limits_{n\to\infty} \left\| x_{n} -x \right\|=0$と仮定しているので、
$$ \lim \limits_{n\to\infty} \left| \langle x_{n},y \rangle -\langle x,y \rangle \right| =\lim \limits_{n\to\infty} \left\| x_{n}-x \right\| \left\| y \right\|=0 $$
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