📂解析学

冪級数の収束半径

まとめ¹

与えられたべき級数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$について、$\alpha$と$R$は次のように定義される。

$$ \alpha = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}, \qquad R = \dfrac{1}{\alpha} $$

それで、$\left| x - a \right| \lt R$のとき級数は収束し、$\left| x - a \right| \gt R$のとき級数は発散する。

• $\alpha = 0$ならば$R = \infty$、$\alpha = \infty$ならば$R = 0$にする。

定義

上記の定理に従い、$R$はべき級数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$の収束半径^{radius of convergence}と呼ばれる。

説明

以下の証明から、収束半径が$R$のべき級数$\sum\limits_{} c_{n} (x - a)^{n}$は開区間$(a - R, a + R)$で絶対収束することがわかる。

証明

$a_{n} = c_{n} (x - a)^{n}$なので、ここで根判定法を適用すると、

$$ \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}| \left| x - a \right|^{n}} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} \left| x - a \right| = \dfrac{\left| x - a \right|}{R} $$

根判定法によって$\dfrac{\left| x - a \right|}{R} \lt 1$のとき級数が収束し、$\dfrac{\left| x - a \right|}{R} \gt 1$のとき発散する。

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