特性関数、指示関数
定義
$A \subset X$ について、以下のように定義される 関数 $\chi_{A} : X \to \mathbb{R}$ を 特性関数 または 指示関数 と言う。
$$ \chi _{A}(x) := \begin{cases} 1, & x\in A \\ 0 ,& x \notin A \end{cases} $$
説明
$\chi$ はギリシャ文字の カイ だ。学生時代、数学の先生がxを $\chi$ で書くなって言ったのは、まさに $\chi$ がxではないからだ。特に、こんなに強い意味を持っているから、適当に使うべきではない。
数学科では、特に特性関数と呼ばれることはほとんどなく、そのまま [キャラクタリスティック ファンクション] と読む。特に定積分が含まれる方程式で、積分範囲を変更するトリックのためによく使われる。例えば、以下のような場合だ。 $$ \int _{a} ^{b}f(x)g(x) dx=\int _{-\infty}^{\infty}\chi_{[a,b]}f(x)g(x)dx $$
科目によっては、以下のように太字の1で表されることもある。どちらがより多く使われるかは、はっきりしていないが、$\chi$ は様々な分野でそれぞれ独自の意味を持っているのに対し、$\mathbf{1}$ は主に指示関数のみを指すので、論文では書籍よりも $\mathbf{1}$ が $\chi$ よりも多く使われるようだ。 $$ \mathbf{1}_{A} = \chi _{A}(x) $$