テスト関数とテスト関数空間
📂シュワルツ超函数テスト関数とテスト関数空間
定義
開集合 Ω⊂Rnと関数 ϕ:Ω→Cが与えられているとする。ϕが無限に微分可能で、その導関数が全部連続であり、コンパクトサポートを持っていれば、テスト関数と呼ばれる。テスト関数の関数空間はCc∞(Ω)または単純にD(Ω)と表される。
説明
test functionまたはtesting functionとも呼ばれる。ϕがテスト関数と名づけられたのは、ϕ自体を扱いたいわけではなく、何か他の関数を定義し、その関数の性質を研究するために使いたいからである。具体的には、テスト関数は数学的に曖昧な関数、例えばディラックのデルタ関数などを厳密に定義するために使用される。テスト関数の具体的な例にはモーリファイアがある。
定理
ϕがテスト関数ならば、その導関数もテスト関数である。
ϕ∈D(Ω)⟹∂xi∂ϕ∈D(Ω)(i=1,⋯,n)
この場合、x=(x1,⋯,xn)∈Rnである。
証明
テスト関数の定義により∂xi∂ϕ∈C∞は自明である。 x0∈/suppϕとしよう。すると、x0∈(suppϕ)cであり、サポートは閉集合であるため(suppϕ)cは開集合である。したがって、開集合の定義により、x0を含む何らかの近傍 Nx0が存在する。また、サポートの定義により、Nx0上でϕ=0であり、当然∂xi∂ϕ=0である。これはx0∈/supp∂xi∂ϕであることを意味する。したがって、以下が成り立つ。
supp∂xi∂ϕ⊂suppϕ
コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトであるため、supp∂xi∂ϕはコンパクトである。
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系
ϕ,ϕ1,ϕ2∈D(Rn)、x0∈Rn、a∈R∖{0}、ψ∈C∞(Rn)としよう。すると、以下が成り立つ:
(a) ϕ(x−x0)、ϕ(−x)、ϕ(ax)∈D(Rn)
(b) ψϕ∈D(Rn)
(c) ϕ1∗ϕ2∈D
明らかなので、証明は省略する。