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テスト関数とテスト関数空間 📂シュワルツ超函数

テスト関数とテスト関数空間

定義1

開集合 ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}と関数 ϕ:ΩC\phi : \Omega \to \mathbb{C}が与えられているとする。ϕ\phiが無限に微分可能で、その導関数が全部連続であり、コンパクトサポートを持っていれば、テスト関数と呼ばれる。テスト関数の関数空間Cc(Ω)C_{c}^{\infty}(\Omega)または単純にD(Ω)\mathcal{D}(\Omega)と表される。

説明

test functionまたはtesting functionとも呼ばれる。ϕ\phiがテスト関数と名づけられたのは、ϕ\phi自体を扱いたいわけではなく、何か他の関数を定義し、その関数の性質を研究するために使いたいからである。具体的には、テスト関数は数学的に曖昧な関数、例えばディラックのデルタ関数などを厳密に定義するために使用される。テスト関数の具体的な例にはモーリファイアがある。

定理2

ϕ\phiがテスト関数ならば、その導関数もテスト関数である。

ϕD(Ω)    ϕxiD(Ω)(i=1,,n) \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \implies \frac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}} \in \mathcal{D}(\Omega) (i=1,\cdots,n)

この場合、x=(x1,,xn)Rnx=(x_{1},\cdots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}である。

証明

テスト関数の定義によりϕxiC\dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}} \in C^{\infty}は自明である。 x0suppϕx_{0} \notin \mathrm{supp} \phiとしよう。すると、x0(suppϕ)cx_{0} \in \left( \mathrm{supp} \phi \right)^{c}であり、サポートは閉集合であるため(suppϕ)c(\mathrm{supp} \phi)^{c}は開集合である。したがって、開集合の定義により、x0x_{0}を含む何らかの近傍 Nx0N_{x_{0}}が存在する。また、サポートの定義により、Nx0N_{x_{0}}上でϕ=0\phi=0であり、当然ϕxi=0\dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}=0である。これはx0suppϕxix_{0} \notin \mathrm{supp} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}であることを意味する。したがって、以下が成り立つ。

suppϕxisuppϕ \mathrm{supp} \frac{ \partial \phi}{ \partial x_{i} } \subset \mathrm{supp} \phi

コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトであるため、suppϕxi\mathrm{supp} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}はコンパクトである。

ϕ,ϕ1,ϕ2D(Rn)\phi,\phi_{1},\phi_{2} \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})x0Rnx_{0}\in \mathbb{R}^{n}aR{0}a \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}ψC(Rn)\psi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})としよう。すると、以下が成り立つ:

  • (a) ϕ(xx0)\phi (x-x_{0})ϕ(x)\phi (-x)ϕ(ax)D(Rn)\phi (ax)\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})

  • (b) ψϕD(Rn)\psi \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})

  • (c) ϕ1ϕ2D\phi_{1} * \phi_{2} \in \mathcal{D}


明らかなので、証明は省略する。


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p19-20 ↩︎

  2. Daniel Eceizabarrena perez, Distribution Theory and Fundamental Solutions of Differential Operators (2015), p1-3 ↩︎