テスト関数とテスト関数空間
定義1
開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$と関数 $\phi : \Omega \to \mathbb{C}$が与えられているとする。$\phi$が無限に微分可能で、その導関数が全部連続であり、コンパクトサポートを持っていれば、テスト関数と呼ばれる。テスト関数の関数空間は$C_{c}^{\infty}(\Omega)$または単純に$\mathcal{D}(\Omega)$と表される。
説明
test functionまたはtesting functionとも呼ばれる。$\phi$がテスト関数と名づけられたのは、$\phi$自体を扱いたいわけではなく、何か他の関数を定義し、その関数の性質を研究するために使いたいからである。具体的には、テスト関数は数学的に曖昧な関数、例えばディラックのデルタ関数などを厳密に定義するために使用される。テスト関数の具体的な例にはモーリファイアがある。
定理2
$\phi$がテスト関数ならば、その導関数もテスト関数である。
$$ \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \implies \frac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}} \in \mathcal{D}(\Omega) (i=1,\cdots,n) $$
この場合、$x=(x_{1},\cdots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$である。
証明
テスト関数の定義により$\dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}} \in C^{\infty}$は自明である。 $x_{0} \notin \mathrm{supp} \phi$としよう。すると、$x_{0} \in \left( \mathrm{supp} \phi \right)^{c}$であり、サポートは閉集合であるため$(\mathrm{supp} \phi)^{c}$は開集合である。したがって、開集合の定義により、$x_{0}$を含む何らかの近傍 $N_{x_{0}}$が存在する。また、サポートの定義により、$N_{x_{0}}$上で$\phi=0$であり、当然$\dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}=0$である。これは$x_{0} \notin \mathrm{supp} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}$であることを意味する。したがって、以下が成り立つ。
$$ \mathrm{supp} \frac{ \partial \phi}{ \partial x_{i} } \subset \mathrm{supp} \phi $$
コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトであるため、$\mathrm{supp} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}$はコンパクトである。
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系
$\phi,\phi_{1},\phi_{2} \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$、$x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$、$a \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$、$\psi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$としよう。すると、以下が成り立つ：
(a) $\phi (x-x_{0})$、$\phi (-x)$、$\phi (ax)\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$
(b) $\psi \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$
(c) $\phi_{1} * \phi_{2} \in \mathcal{D}$
明らかなので、証明は省略する。