📂微分積分学

コーシーの冪根判定法

まとめ¹

級数級数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$について、$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = L$としよう。

(a) もし$L < 1$ならば、級数は絶対収束する。

(b) もし$L > 1$や$L = \infty$ならば、級数は発散する。

(c) もし$L = 1$ならば、判別できない。

説明

もし$L = 1$ならば判別できないから、級数が収束するか発散するかを判定するために他の判定法を使わなければならない。定理の言明は非判定法と類似している。

(c)

もし$L = 1$ならば収束する場合もあるし、発散する場合もある。級数$\sum \dfrac{1}{n^{2}}$を見ると、 $$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \dfrac{1}{n^{2}} \right|} = \lim\limits_{n \to \infty} n^{-2/n} = \lim\limits_{n \to \infty} (e^{\ln (n^{-2/n})}) = \lim\limits_{n \to \infty} (e^{ (-2/n) \ln (n)}) = e^{\lim\limits_{n \to \infty} (-2/n) \ln n}$$

最後の等号は指数関数が連続関数なので成り立つ。ロピタルの定理によって、 $$\lim\limits_{n \to \infty} (-2/n) \ln n = -2 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = -2 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$$ だから、$L = 1$だ。級数は$p=2$を満たす$p-$級数なので収束する。

一方で級数$\sum \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n}$を考えると、

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n} } = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} = 1$$

だから$L = 1$だが、$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e$だから発散判定法によって級数は発散する。この二つの例によって$L = 1$の場合には級数の収束性を判別できないことが分かる。

証明

(a)

証明のアイデアは収束する幾何級数と比較することだ。$L \lt 1$なので、$L \lt r \lt 1$を満たす正の数$r$が存在する。すると、$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = L$なので、十分大きな$N$に対して次が成り立つ。

$$\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} \lt r, \quad \text{for all } n \ge N$$

もう一度書くと、

$$\left| a_{n} \right| \lt r^{n}, \quad \text{for all } n \ge N$$

ところで級数$\sum\limits_{n = N}^{\infty} r^{n}$は幾何級数であり、$|r| \lt 1$なので収束する。したがって比較判定法によって$\sum\limits_{n = N}^{\infty} |a_{n}|$も収束する。つまり$\sum a_{n}$は絶対収束する。(前の有限項は級数の収束に影響を与えない)

■

(b)

もし$L > 1$や$L = \infty$ならば、十分大きな$N$に対して次が成り立つ。

$$\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N$$

$$\implies \left| a_{n} \right| \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N$$

だから$\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \ne 0$なので、発散判定法によって$\sum a_{n}$は発散する。

■