📂微分積分学

ダランベールの収束判定法

定理¹

級数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$に対して、$\lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = L$としよ。

(a) もし$L < 1$なら、級数は絶対収束する。

(b) もし$L > 1$または$L = \infty$なら、級数は発散する。

(c) もし$L = 1$なら、判定できない。

説明

もし$L = 1$なら、判定できないから、級数が収束するか発散するかを判断するためには他の判定法を使わなければならない。定理の述べ方は根の判定法と似ている。

(c)

もし$L = 1$なら、収束する場合もあるし、発散する場合もある。例えば、以下の2つの級数は両方とも$L = 1$だけど、左の調和級数は発散し、右の[$p$]級数(../1754)は収束する。

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} \qquad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}$$

証明

(a)

証明のアイデアは、収束する幾何級数と比較することだ。$L \lt 1$だから、$L \lt r \lt 1$を満たす正の$r$が存在する。すると、$\lim\limits_{n \to \infty} | a_{n+1} / a_{n} | = L$だから、十分大きな$N$に対して次が成り立つ。

$$\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \lt r, \quad \text{for all } n \ge N$$

書き換えると

$$\left| a_{n+1} \right| \lt \left| a_{n} \right|r, \quad \text{for all } n \ge N \tag{1}$$

$(1)$に$n = N$を代入すると次のようになる。

$$\left| a_{N+1} \right| \lt \left| a_{N} \right|r \tag{2}$$

$(1)$に$n = N+1$を代入すると、$(1)$と$(2)$によって次が得られる。

$$\left| a_{N+2} \right| \lt \left| a_{N+1} \right|r \lt \left| a_{N} \right|r^{2}$$

同様にして次の式が得られる。

$$\begin{align*} \left| a_{N+3} \right| &\lt \left| a_{N+2} \right|r \lt \left| a_{N+1}\right|r^{2} \lt \left| a_{N}\right|r^{3} \\ \left| a_{N+4} \right| &\lt \left| a_{N+3} \right|r \lt \left| a_{N+2}\right|r^{2} \lt \left| a_{N+1}\right|r^{3} \lt \left| a_{N}\right|r^{4} \\ &\vdots \\ \left| a_{N+k} \right| &\lt \left| a_{N}\right|r^{k},\quad \text{for all } k \ge 1 \end{align*}$$

ところで級数$\sum\limits_{k = 1}^{\infty} |a_{N}|r^{k} = |a_{N}| r + |a_{N}| r^{2} + |a_{N}| r^{3} + \cdots$は幾何級数で$|r| \lt 1$だから収束する。したがって比較判定法により$\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_{N+k}|$も収束する。つまり$\sum a_{n}$は絶対収束する。（前の有限項は級数の収束に影響しない）

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(b)

もし$L > 1$または$L = \infty$なら、十分大きい$N$に対して次が成り立つ。

$$\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N$$

$$\implies \left| a_{n+1} \right| \gt \left| a_{n} \right|, \quad \text{for all } n \ge N$$

したがって$\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \ne 0$だから、発散判定法によって$\sum a_{n}$は発散する。

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