📂フーリエ解析

マルチレゾリューション分析

定義

閉部分空間の列$L^{2}(\mathbb{R})$と関数$\phi \in V_{0}$が下記の条件を満たす時、$\left( \left\{ V_{j} \right\}, \phi \right)$をマルチレゾリューション解析^{multiresolution analysis}と言う。

(a) 各$V_{j}$に対して、$\cdots V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1}\cdots$が成立する。

(b) $\overline{\cup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})$であり、$\cap_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}=\left\{ 0\right\}$である。

(c) $\forall j\in \mathbb{Z}$、$V_{j+1}=D(V_{j})$だ。

(d) $\forall k \in \mathbb{Z}$、$f \in V_{0}$ならば、$T_{k}f \in V_{0}$だ。

(e) $\left\{ T_{k} \phi\right\}_{k\in \mathbb{Z}}$が$V_{0}$の正規直交基底だ。

$(\left\{ V_{j} \right\},\phi)$がマルチレゾリューション解析なら、$\phi$がマルチレゾリューション解析を生成する^generateと言う。$T_{k}$はトランスレーション、$D$はダイレーションだ。

説明

条件 (b) は$\cup_{j}V_{j}$が$L^{2}(\mathbb{R})$でデンスであるという意味で、ある$f \in L^{2}(\mathbb{R})$によって近似する$g \in \cup_{j}V_{j}$が存在することを意味する。そのような$g$が$V_{J}$に属していたら、条件 (a) によって、$g$は全ての$V_{j}$で、$j \ge J$ならば含まれる。また、定義から下記の事実が成立する。

定理

定義の (c)、(d) が満たされるならば、全ての$j \in \mathbb{Z}$に対して下記の二つの事実も成立する。

(f) $V_{j}=D^{j}(V_{0})$

(g) $V_{j}=\overline{\text{span}}\left\{ D^{j}T_{k}\phi \right\}$

証明

(f)

(c) が成立するとする。その時、全ての$j \in \mathbb{N}$に対して

$$V_{j}=D(V_{j-1})=DD(V_{j-2})=\cdots=D^{j}V(_{0})$$

また、全ての$j \in \left\{ -1,-2,\cdots \right\}$に対して

$$V_{j}=D^{-1}(V_{j+1})=D^{-1}D^{-1}(V_{j+2})=\cdots=(D^{-1})^{-j}(V_{0})=D^{j}(V_{0})$$

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(g)

$\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$が$V_{0}$の正規直交基底であるため

$$V_{0}=\overline{\text{span}}\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$$

が成立する。それによって、(f) によって

$$V_{j}=D^{j}(V_{0})=D^{j}\left( \overline{\text{span}}\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}} \right)=\overline{\text{span}}\left\{ D^{j}T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$$

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