比較判定法
📂微分積分学比較判定法
定理
二つの級数 ∑anと∑bnについてan,bn>0とする。すると次が成立する。
- もし∀n an≤bnで∑bnが収束すれば、∑anも収束する。
- もし∀n an≥bnで∑bnが発散すれば、∑anも発散する。
説明
これは**(直接)比較判定法**the direct comparison testと呼ばれる。通常は比較判定法と呼ばれるが、名前が似ている極限比較判定法があり、明確な区別が必要な時には直接比較判定法と呼ばれることもある。
大きな級数が収束すれば、それより小さい級数も収束し、小さな級数が発散すれば、それより大きな級数も発散するという直感的な定理。この比較判定法で級数の収束性を判別する際に、以下の二つの級数がよく使用される。
証明
まず、次のように表記する。
sn=i=1∑nai,tn=i=1∑nbi,t=i=1∑∞bi
1.
与えられた二つの級数の各項は0より大きいため、{sn}と{tn}は増加列である。すべてのnについてtn≤tが成り立つ。仮定よりsn≤tnなので、
sn≤t∀n
snは有界な増加列であるため、単調増加列の定理によりsnは収束する。
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2.
もし∑bnが発散すれば、{tn}は増加列であるため、n→∞limtn=∞である。sn≥tnなので、数列の発散の定義によってn→∞limsn=∑an=∞である。
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