📂微分積分学

比較判定法

定理¹

二つの級数 $\sum a_{n}$と$\sum b_{n}$について$a_{n}, b_{n} \gt 0$とする。すると次が成立する。

1. もし$\forall n \ a_{n} \le b_{n}$で$\sum b_{n}$が収束すれば、$\sum a_{n}$も収束する。
2. もし$\forall n \ a_{n} \ge b_{n}$で$\sum b_{n}$が発散すれば、$\sum a_{n}$も発散する。

説明

これは**(直接)比較判定法**^{the direct comparison test}と呼ばれる。通常は比較判定法と呼ばれるが、名前が似ている極限比較判定法があり、明確な区別が必要な時には直接比較判定法と呼ばれることもある。

大きな級数が収束すれば、それより小さい級数も収束し、小さな級数が発散すれば、それより大きな級数も発散するという直感的な定理。この比較判定法で級数の収束性を判別する際に、以下の二つの級数がよく使用される。

• $p$級数 $\sum \dfrac{1}{n^{p}}$

• 幾何級数 $\sum ar^{n}$

証明

まず、次のように表記する。

$$ s_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i}, \qquad t_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} b_{i}, \qquad t = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} b_{i} $$

1.

与えられた二つの級数の各項は$0$より大きいため、$\left\{ s_{n} \right\}$と$\left\{ t_{n} \right\}$は増加列である。すべての$n$について$t_{n} \le t$が成り立つ。仮定より$s_{n} \le t_{n}$なので、

$$ s_{n} \le t \quad \forall n $$

$s_{n}$は有界な増加列であるため、単調増加列の定理により$s_{n}$は収束する。

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2.

もし$\sum b_{n}$が発散すれば、$\left\{ t_{n} \right\}$は増加列であるため、$\lim\limits_{n \to \infty}t_{n} = \infty$である。$s_{n} \ge t_{n}$なので、数列の発散の定義によって$\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = \sum a_{n} = \infty$である。

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