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比較判定法 📂微分積分学

比較判定法

定理1

二つの級数 an\sum a_{n}bn\sum b_{n}についてan,bn>0a_{n}, b_{n} \gt 0とする。すると次が成立する。

  1. もしn anbn\forall n \ a_{n} \le b_{n}bn\sum b_{n}が収束すれば、an\sum a_{n}も収束する。
  2. もしn anbn\forall n \ a_{n} \ge b_{n}bn\sum b_{n}が発散すれば、an\sum a_{n}も発散する。

説明

これは**(直接)比較判定法**the direct comparison testと呼ばれる。通常は比較判定法と呼ばれるが、名前が似ている極限比較判定法があり、明確な区別が必要な時には直接比較判定法と呼ばれることもある。

大きな級数が収束すれば、それより小さい級数も収束し、小さな級数が発散すれば、それより大きな級数も発散するという直感的な定理。この比較判定法で級数の収束性を判別する際に、以下の二つの級数がよく使用される。

証明

まず、次のように表記する。

sn=i=1nai,tn=i=1nbi,t=i=1bi s_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i}, \qquad t_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} b_{i}, \qquad t = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} b_{i}

1.

与えられた二つの級数の各項は00より大きいため、{sn}\left\{ s_{n} \right\}{tn}\left\{ t_{n} \right\}増加列である。すべてのnnについてtntt_{n} \le tが成り立つ。仮定よりsntns_{n} \le t_{n}なので、

sntn s_{n} \le t \quad \forall n

sns_{n}有界な増加列であるため、単調増加列の定理によりsns_{n}は収束する。

2.

もしbn\sum b_{n}が発散すれば、{tn}\left\{ t_{n} \right\}は増加列であるため、limntn=\lim\limits_{n \to \infty}t_{n} = \inftyである。sntns_{n} \ge t_{n}なので、数列の発散の定義によってlimnsn=an=\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = \sum a_{n} = \inftyである。


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p760-761 ↩︎