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極座標系における微小面積、円柱座標系における微小体積 📂数理物理学

極座標系における微小面積、円柱座標系における微小体積

公式

極座標系での微小面積は以下の通りだ。

dA=rdrdθ dA=rdrd\theta

円筒座標系での微小体積と円筒の表面の微小面積は以下の通りだ。

dV=ρdρdϕdzdA=ρdϕdz dV=\rho d\rho d\phi dz \\ dA=\rho d\phi dz

説明

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極座標系 r=r(r,θ)\mathbf{r}=\mathbf{r}(r,\theta)

微小面積は、図のように(緑の線の長さ)×\times(青い線の長さ)だ。緑色の線は径方向の微小変化量で、dr\color{green}{dr}だ。青色の線は径がrr、中心角がdθd\thetaの弧だ。弧の長さは径と角度の積なので、青い線の長さはrdθ\color{blue}{rd\theta}だ。従って、微小面積は

dA=rdrdθ dA=rdr d\theta

円筒座標系 r=r(ρ,ϕ,z)\mathbf{r}=\mathbf{r}(\rho,\phi,z)

極座標系での微小面積に高さ方向の微小変化量dz\color{red}{dz}を掛けるだけだ。

dV=ρdρdϕdz dV=\rho d\rho d\phi dz

円筒の表面の面積は、長さ成分の微小変化量を掛けなくて良いので

dA=ρdϕdz dA=\rho d\phi dz

参考