📂数理物理学

極座標系における微小面積、円柱座標系における微小体積

公式

極座標系での微小面積は以下の通りだ。

$$ dA=rdrd\theta $$

円筒座標系での微小体積と円筒の表面の微小面積は以下の通りだ。

$$ dV=\rho d\rho d\phi dz \\ dA=\rho d\phi dz $$

説明

極座標系 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(r,\theta)$

微小面積は、図のように(緑の線の長さ)$\times$(青い線の長さ)だ。緑色の線は径方向の微小変化量で、$\color{green}{dr}$だ。青色の線は径が$r$、中心角が$d\theta$の弧だ。弧の長さは径と角度の積なので、青い線の長さは$\color{blue}{rd\theta}$だ。従って、微小面積は

$$ dA=rdr d\theta $$

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円筒座標系 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(\rho,\phi,z)$

極座標系での微小面積に高さ方向の微小変化量$\color{red}{dz}$を掛けるだけだ。

$$ dV=\rho d\rho d\phi dz $$

円筒の表面の面積は、長さ成分の微小変化量を掛けなくて良いので

$$ dA=\rho d\phi dz $$

参考

• 球座標系での微小体積