円筒座標系における微小体積
説明
図を通しての理解
球座標系での微小体積は、上の図で見るように、（緑の線の長さ）$\times$（青の線の長さ）$\times$（赤の線の長さ）の積であることがわかる。起点から三つの線が交差するところまでの距離を$r$とする。緑の線の長さは長さ成分の微小変化量なので、$\color{green}{dr}$である。青の線は直径が$r$、角度が$d\theta$の弧である。したがって、弧の長さは直径と角度の積なので、$\color{blue}{rd\theta}$である。赤の線の長さも同じ方法で求めることができる。赤の線は直径が$\color{orange}{r\sin\theta}$、角度が$d\phi$の弧である。従って、長さは$\color{red}{r\sin\theta d \phi}$である。したがって、球座標系での微小体積は
$$ dV=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi $$
式を通しての理解
直交座標を球座標で表すと以下のようになる。
$$ \begin{align*} x &= r\sin\theta \cos \phi \\ y &= r\sin\theta \sin\phi \\ z &= r\cos\theta \end{align*} $$
直交座標系から球座標系への座標変換時のヤコビアンの行列式は以下のようになる。
$$ \begin{align*} & \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta } & \dfrac{\partial x}{\partial \phi } \\[1em] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta } & \dfrac{\partial y}{\partial \phi } \\[1em] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta } & \dfrac{\partial z}{\partial \phi } \end{vmatrix} \\ &= \frac{\partial x}{\partial r}\left( \frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{\partial z}{\partial \phi }-\frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial \theta }\right)+\frac{\partial x}{\partial \theta}\left( \frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial r }-\frac{\partial y}{\partial r }\frac{\partial z}{\partial \phi } \right)+\frac{\partial x}{\partial \phi}\left( \frac{\partial y}{\partial r }\frac{\partial z}{\partial \theta }-\frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{\partial z}{\partial r } \right) \\ &= \sin\theta\cos\phi\left(0-r\sin\theta\cos\phi (-r\sin\theta) \right) \\ &+ r\cos\theta\cos\phi (r\sin\theta \cos\phi \cos\theta - 0) \\ & -r\sin\theta\sin\phi (\sin\theta\sin\phi (-r\sin\theta) - r\cos\theta \sin\phi \cos\theta) \\ &= r^{2}\sin^{3}\theta \cos ^{2}\phi + r^{2}\sin\theta\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi \\ &+ r^{2}\sin^{2}\phi\sin^{3}\theta+r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi\sin\theta \\ &= r^{2}\sin\theta (\sin^{2}\theta\cos^{2}\phi+\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\phi+\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi) \\ &= r^{2}\sin\theta (\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi) \\ &= r^{2}\sin\theta \end{align*} $$
従って
$$ dV=dxdydz=\begin{vmatrix} \frac{ \partial x }{ \partial r} & \frac{ \partial x }{ \partial \theta } & \frac{ \partial x }{ \partial \phi } \\ \frac{ \partial y }{ \partial r} & \frac{ \partial y }{ \partial \theta } & \frac{ \partial y }{ \partial \phi } \\ \frac{ \partial z }{ \partial r} & \frac{ \partial z }{ \partial \theta } & \frac{ \partial z }{ \partial \phi }\end{vmatrix}drd\theta d\phi=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi $$
参照