📂関数

双曲線関数の和差公式と乗法公式

公式

• 和差公式:

$$\begin{align} \sinh x +\sinh y =&\ 2\sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right) \\[1em] \sinh x -\sinh y =&\ 2\sinh \left(\frac{x-y}{2}\right) \cosh \left( \frac{x+y}{2} \right) \\[1em] \cosh x + \cosh y =&\ 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right) \\[1em] \cosh x -\cosh y =&\ 2 \sinh \left( \frac{x+y}{2} \right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right) \end{align}$$

• 積の公式:

$$\begin{align} \sinh x \sinh y =&\ \frac{\cosh (x+y)-\cosh (x-y)}{2} \\ \sinh x \cosh y =&\ \frac{\sinh (x+y)+\sinh (x-y)}{2} \\ \cosh x \sinh y =&\ \frac{\sinh (x+y)-\sinh (x-y)}{2} \\ \cosh x \cosh y =&\ \frac{\cosh (x+y)+\cosh (x-y)}{2} \end{align}$$

説明

証明プロセスは、三角関数の和差公式を導いたものと同じなので、詳しく紹介しない。

証明

$(1)-(4)$の証明

加法定理によれば、

$$\begin{align*} \sinh (x + y) =&\ \sinh x \cosh y + \sinh y \cosh x \\ \sinh (x - y) =&\ \sinh x \cosh y - \sinh y \cosh x \end{align*}$$

$x=\frac{z+w}{2}$, $y=\frac{z-w}{2}$と置き換えると、上の式は

$$\begin{align*} \sinh z =&\ \sinh \frac{z+w}{2} \cosh \frac{z-w}{2} + \sinh \frac{z-w}{2} \cosh \frac{z+w}{2} \\ \sinh w =&\ \sinh \frac{z+w}{2} \cosh \frac{z-w}{2} - \sinh \frac{z-w}{2} \cosh \frac{z+w}{2} \end{align*}$$

この式を足したり引いたりすると、それぞれ以下のようになる。

$$\begin{align*} \sinh z+\sinh w =&\ 2\sinh \frac{z+w}{2} \cosh \frac{z-w}{2} \\ \sinh z -\sinh w =&\ 2\sinh \frac{z-w}{2} \cosh \frac{z+w}{2} \end{align*}$$

残りも同様の方法で得ることができる。

■

$(5)-(8)$の証明

加法定理によれば、

$$\begin{align*} \cosh (x + y) =&\ \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\ \cosh (x - y) =&\ \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \end{align*}$$

上の式から下の式を引くと、

$$\begin{align*} &&\cosh (x+y)-\cosh (x-y)=&\ 2\sinh x \sinh y \\ \implies && \sinh x \sinh y =&\ \frac{\sinh (x+y)+\sinh (x-y)}{2} \end{align*}$$

残りも同様の方法で得ることができる。

■