📂数理統計学

確率収束は分布収束を意味する

定理¹

確率変数 $X$ とその シーケンス $\left\{ X_{n} \right\}$ について $$ X_{n} \overset{P}{\to} X \implies X_{n} \overset{D}{\to} X $$

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• $\overset{P}{\to}$ は確率収束を意味する。
• $\overset{D}{\to}$ は分布収束を意味する。

説明

もっと直感的に言い換えると、分布収束のほうが正確な収束よりもずっと簡単だってことだ。確率変数をそのものの関数として正確に理解していれば、受け入れるのは難しくないはずだ。

証明

戦略: イベントを二つに分けて不等式を立てるトリックを使用するが、これを勉強しているとよく見ることになるので、難しくても慣れるよう努力することをお勧めする。最初は難しいのが普通だから、理解できなくても落ち込まずに、何度も読んで理解するようにしてみよう。

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任意の正の数 $\epsilon > 0$ に対して $$ \begin{align*} F_{X_{n}}(x) =& P[X_{n} \le x] \\ =& P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | < \epsilon \right\} ] +P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \end{align*} $$ 最初の項 $P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | < \epsilon \right\} ]$ をよく観察すると $$ \begin{align*} & |X_{n}-X|<\epsilon \\ \implies& X<X_{n} + \epsilon \\ \implies& X<X_{n} + \epsilon \le x+ \epsilon \\ \implies& X< x+ \epsilon \end{align*} $$ 一方、二番目の項については $$ P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \le P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] $$ となるので、整理すると $$ \begin{align*} F_{X_{n}}(x) \le & P[X \le x + \epsilon] + P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \\ =& F_{X}(x+\epsilon) + P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \end{align*} $$ 両辺に極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ を取れば $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\}=0$ となるので $$ \limsup _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) \le F_{X}(x+\epsilon) $$ 上限を求めたので、同じ方法で下限を求めると $$ F_{X}(x-\epsilon) \le \liminf _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) \le \limsup _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) \le F_{X}(x+\epsilon) $$ $\epsilon$ は任意の正の数としたので $\epsilon \to 0$ の時 $F_{X}$ が連続する全ての点 $x \in C_{F_{X}}$ で $$ \lim _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) = F_{X}(x) $$ となり、したがって $X_{n}$ は $X$ に分布収束する。

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