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双曲線関数の二倍角と半角の公式

式

• 二倍角の公式:

$$\begin{align} \sinh (2x) =&\ 2\sinh x \cosh x \label{1} \\ \cosh (2x) =&\ \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = 2\cosh ^{2 } x -1 = 2\sinh ^{2} x +1 \\ \tanh (2x) =&\ \frac{2\tanh x}{1+\tanh^{2}x} \end{align}$$

• 半角の公式:

$$\begin{align} \sinh^{2} \frac{x}{2} =&\ \frac{\cosh x -1 }{2} \\ \cosh^{2} \frac{x}{2} =&\ \frac{\cosh x +1 }{2} \\ \tanh ^{2} \frac{x}{2} =&\ \frac{\cosh x -1}{\cosh x +1} \end{align}$$

$$\begin{align} \sinh \frac{x}{2}=&\ \frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x +1)}} \\ \cosh \frac{x}{2}=&\ \frac{\sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{2(\cosh x -1)}} \end{align}$$

$\mathrm{sgn}(x)$は符号関数だ。

説明

三角関数の二倍角公式、半角公式を証明したように双曲線関数の加法定理を利用して証明する。証明過程は難しくない。証明$(4)-(6)$は二倍角公式からすぐに得られるので、別に証明しない。三角関数の半角公式と同じように項で展開して整理すると直ちに得られる。

証明

証明$(1)$

$$\begin{align*} \sinh (2x)=&\ \sinh (x+x) \\ =&\ \sinh x \cosh x + \sinh x \cosh x \\ =&\ 2\sinh x \cosh x \end{align*}$$

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証明$(2)$

$$\begin{align*} \cosh (2x)=&\ \cosh (x+x) \\ =&\ \cosh x \cosh x + \sinh x \sinh x \\ =&\ \cosh ^{2} x + \sinh ^{2} x \end{align*}$$

また、$\cosh^{2} x-\sinh^{2} x=1$なので

$$\cosh^{2} x +\sinh^{2} x = 2\cosh^{2}x -1 = 2\sinh x+1$$

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証明$(3)$

$$\begin{align*} \tanh (2x) =\tanh (x+x) =&\ \frac{\sinh(x+x)}{\cosh (x+x)} \\ =&\ \frac{2\sinh x \cosh x }{\cosh^{2} x + \sinh^{2} x} \\ =&\ \frac{2\frac{\sinh x}{\cosh x}}{1+\frac{\sinh^{2} x}{\cosh^{2} x}} \\ =&\ \frac{2\tanh x}{1+\tanh^{2}x} \end{align*}$$

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証明$(7)$

$$\begin{align*} \sinh \frac{x}{2} =&\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ =&\ \frac{(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}} )}{2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}} )} \\ =&\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}} \\ =&\ \sinh x \frac{1}{\sqrt{(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})^{2}}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}+2}} \\ =&\ \frac{ \sinh x}{\sqrt{2 \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+2}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x +1)}} \end{align*}$$

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証明$(8)$

$$\begin{align*} \cosh \frac{x}{2} =&\ \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\ =&\ \frac{(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}} )}{2(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}} )} \\ =&\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}} \\ =&\ \sinh x \frac{1}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})^{2}}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{e^{x}+e^{-x}-2}} \\ =&\ \frac{ \sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{2 \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-2}} \\ =&\ \frac{\sinh x}{\mathrm{sgn}(x)\sqrt{2(\cosh x -1)}} \end{align*}$$

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