直交座標系における速度と加速度
直交座標系での速度と加速度
$$ \begin{align*} \mathbf{r} &= x \hat{\mathbf{x}} + y \hat{\mathbf{y}} + z \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{v} &= \dot{\mathbf{r}} = \dot{x} \hat{\mathbf{x}} + \dot{y} \hat{\mathbf{y}} + \dot{z} \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{a} &= \dot{\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{x} \hat{\mathbf{x}} + \ddot{y} \hat{\mathbf{y}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
導出
直交座標系で速度と加速度を求めるのはとても簡単だ。
速度
$\mathbf{r}$を$t$で微分すると次のようになる。
$$ \mathbf{v}=\frac{d}{dt}(x\hat{\mathbf{x}} +y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}})=\dot{x} \hat{\mathbf{x}} + x\dot{\hat{\mathbf{x}}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}} + y\dot{\hat{\mathbf{y}}} +\dot{z} \hat{\mathbf{z}} + z\dot{\hat{\mathbf{z}}} $$
直交座標系の単位ベクトルは、時間の変化に無関係なので$\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\dot{\hat{\mathbf{y}}}=\dot{\hat{\mathbf{z}}} = 0$であり、したがって次のようになる。
$$ \mathbf{v} = \dot{x} \hat{\mathbf{x}} + \dot{y} \hat{\mathbf{y}} + \dot{z} \hat{\mathbf{z}} $$
ちなみに、$\dot{r}$は「アルドット」と読む。物理学で文字の上の点は、時間に対する微分を意味する。
加速度
$\mathbf{v}$を$t$で微分すると次のようになる。
$$ \mathbf{a}=\frac{d}{dt}(\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}})=\ddot{x} \hat{\mathbf{x}}+\ddot{y} \hat{\mathbf{y}}+\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} $$