📂動力学

リャプノフ関数

定義¹

空間$X$と関数$f : X \to X$について、次のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとしよう。 $$ \dot{x} = f(x) $$ このような自己組織系の一点$x_{0} \in X$が与えられたとき、$x_{0}$の近傍$\mathcal{N} \left( x_{0} \right)$で定義されたスカラー関数$V \in C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$が、次の条件を満たす場合、それを リアプノフ関数^{Liapunov function}と言う。

• (i): $V(x_{0}) = 0$であり、$x \ne x_{0}$ならば$V(x) > 0$である。
• (ii): $x \in \mathcal{N} \left( x_{0} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\}$から$V ' (x) \le 0$が導かれる。

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• $C^{1}(A,B)$は、定義域が$A$であり、値域が$B$で、微分可能でその導関数が連続である関数の集合を意味する。
• $V$が$C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$に属するとは、$x_{0}$の近傍で定義されたスカラー関数であり、微分可能であり、$v '$が連続であるという意味である。

説明

リアプノフ関数は、与えられたシステム$\dot{x} = f(x)$に依存する可能性がある関数であり、特に$X = \mathbb{R}^{n}$の時に固定点$x_{0} = \overline{x}$の安定性を確認するために考慮される。リアプノフ関数の存在は安定性を意味し、$V$はシステム$f$に応じて適切に定義されるべき関数である。$v '$は時間$t$に関する微分であり、$V$を微分したときに$\dot{x}$に関連する項が現れることで、$f$との関係が明らかになる。

この説明によると、リアプノフ関数が非線形システムを理解するための万能ツールのように思えるかもしれないが、非線形システムがそもそも難しいため、このリアプノフ関数を見つけることはそれほど簡単ではない。リアプノフ関数を見つける一般的な方法はなく、重要なシステムに対しても、リアプノフ関数を見つけること自体が研究テーマになり得るほど難しいものである。

例

リアプノフ関数を見つける非常に簡単な過程を見てみよう： $$ \begin{align*} \dot{x} =& -x + 4y \\ \dot{y} =& -x - y^{3} \end{align*} $$ このシステムには固定点$(0,0)$が与えられている。言及したように、リアプノフ関数を見つける一般的な方法はないので、直感を頼りにするしかない。リアプノフ関数を見つけることに慣れてくれば、その関数を見つけることも早くなるだろう。ここでは、$V(x,y) = x^{2} + a y^{2}$がリアプノフ関数になると仮定し、$a \ge 0$の値を特定する方法で探してみる。

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Part (i).

$V(0,0) = 0$であり、そして$(x,y) \ne (0,0)$ならば$V(x,y) > 0$である。$(0,0)$で$V = 0$であり、$a$が負でないと仮定すると$V > 0$である。

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Part (ii).

$(x,y) \in \mathcal{N} \left( (0,0) \right) \setminus \left\{ (0,0) \right\}$から$V ' (x,y) \le 0$が導かれる。$V$を$t$で微分すると $$ \begin{align*} {{ d V } \over { d t }} =& 2xx’ + 2ay\dot{y} \\ =& 2x(-x+4y) + 2ay \left( -x-y^{3} \right) \\ =& -2x^{2} + (8-2a)xy - 2ay^{2} \end{align*} $$ ここで、$a=4$ならば$V ' <0$である。

したがって、固定点$(0,0)$が与えられている場合、リアプノフ関数は$V(x,y) = x^{2} + 4 y^{2}$として存在することが保証され、それにより$(0,0)$がリアプノフ安定性を持つことも分かる。