📂動力学

リャプノフ関数

定義¹

空間 $X$ と関数 $f : X \to X$ に対して次のような ベクトルフィールド が 微分方程式 によって与えられているとする。 $$\dot{x} = f(x)$$ 上記のような 自律システム の一点 $x_{0} \in X$ が与えられているとき、$x_{0}$ の近傍 $\mathcal{N} \left( x_{0} \right)$ で定義された スカラー関数 $V \in C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$ が次の条件を満たすと リアプノフ関数^{Liapunov function} と呼ばれる。

• (i): $V(x_{0}) = 0$ が成立し、$x \ne x_{0}$ の場合は $V(x) > 0$
• (ii): $x \in \mathcal{N} \left( x_{0} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\}$ において $V ' (x) \le 0$

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• $C^{1}(A,B)$ は定義域が $A$ で、値域が $B$ であり、微分可能でその導関数が連続な関数の集合を意味する。
• $V$ が $C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$ に属するということは、$x_{0}$ 近傍で定義されたスカラー関数であり微分可能で$v '$ が連続であることを意味する。

説明

リアプノフ関数は、与えられたシステム $\dot{x} = f(x)$ に依存して存在する可能性のある関数であり、特に $X = \mathbb{R}^{n}$ の場合に固定点 $x_{0} = \overline{x}$ の 安定性 を確認するために考慮される。リアプノフ関数の存在性は即ち安定性を意味し、$V$ はシステム $f$ に応じて適切に定義されるべき関数である。$v '$ は文字通り時間 $t$ に関する微分であり、$V$ を微分すると $\dot{x}$ に対する項が生じるため、システム $f$ との関係が明らかになる。

この説明によると、一見リアプノフ関数が 非線形システム を理解する万能ツールのように思えるが、そもそも非線形システムが難しいため、このリアプノフ関数を見つけることは簡単なことではない。リアプノフ関数を一般的に見つける方法はなく、一つの重要なシステムに対してでもこのリアプノフ関数を見つけること自体が研究テーマになるほど難しいのである。

例

非常に簡単な例としてリアプノフ関数を見つける過程を見てみよう: $$\begin{align*} \dot{x} =& -x + 4y \\ \dot{y} =& -x - y^{3} \end{align*}$$ このシステムには固定点 $(0,0)$ が与えられている。言及したように、一般的にリアプノフ関数を見つける方法はないため、直感が必要となる。リアプノフ関数を見つけることに慣れれば、その関数を見つけるのも早くなるだろう。ここでは $V(x,y) = x^{2} + a y^{2}$ がリアプノフ関数であると仮定し、$a \ge 0$ の値を具体化する方法で見つけてみよう。

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Part 1.

$V(0,0) = 0$ であり、$(x,y) \ne (0,0)$ の場合は $V(x,y) > 0$ である。$(0,0)$ で $V = 0$ であり、$a$ が負でないと仮定したので $V > 0$ である。

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Part 2.

$(x,y) \in \mathcal{N} \left( (0,0) \right) \setminus \left\{ (0,0) \right\}$ において $V ' (x,y) \le 0$ である。$V$ を $t$ によって微分すると $$\begin{align*} {{ d V } \over { d t }} =& 2 x \dot{x} + 2 a y\dot{y} \\ =& 2x(-x+4y) + 2ay \left( -x-y^{3} \right) \\ =& -2x^{2} + (8-2a)xy - 2ay^{2} \end{align*}$$ ここで $a=4$ ならば $V ' <0$ である。

したがって、固定点 $(0,0)$ が与えられると、リアプノフ関数は $V(x,y) = x^{2} + 4 y^{2}$ として存在することが保証され、その存在性によって $(0,0)$ が リアプノフ安定性 を持つこともわかる。