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級数の収束性質 📂微分積分学

級数の収束性質

定理

二つの級数 ∑an\sum a_{n}と∑bn\sum b_{n}が収束したら、級数∑can\sum c a_{n}（ccは定数)と∑(an±bn)\sum (a_{n} \pm b_{n})も収束して、次のことが成り立つ。

  1. ∑n=1∞can=c∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} = c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}
  2. ∑n=1∞(an±bn)=∑n=1∞an±∑n=1∞bn\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n}

説明

級数の定数倍と二つの級数の和が自然に成り立つが、これは「収束する」級数に対してのみ成り立つことに注意しろ。

証明

1.

∑n=1∞can=lim⁡N→∞∑n=1Ncan=lim⁡N→∞c∑n=1Nan=clim⁡N→∞∑n=1Nan=c∑n=1∞an \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} c a_{n} \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} c \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \\ \end{align*}

最初の等号は級数の定義によって、三番目の等号は極限の性質によって成り立つ。

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2.

∑n=1∞(an±bn)=lim⁡N→∞∑n=1N(an±bn)=lim⁡N→∞(∑n=1Nan±∑n=1Nbn)=lim⁡N→∞∑n=1Nan±lim⁡N→∞∑n=1Nbn=∑n=1∞an±∑n=1∞bn \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} (a_{n} \pm b_{n}) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \left(\sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n}\right) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n} \\ &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n} \\ \end{align*}

最初の等号は級数の定義で、二番目の等号は和∑\sumの性質によって、三番目の等号は極限の性質によって成り立つ。

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