減衰調和振動
📂古典力学 減衰調和振動 減衰調和振動
バネ定数をk k k 単振動 の運動方程式は次のようになる。
m x ¨ + k x = 0
m \ddot {x}+kx=0
m x ¨ + k x = 0
単振動ではバネの復元力のみを考慮する。しかし、実際には摩擦力などの他の外力が物体の運動に影響を与えるため、これを無視することはできない。そこで、速度に比例する摩擦力があると仮定してみよう。この力を減速力 retarding force と言う。この減速力が働く振子の運動を減衰調和振動 damped harmonic oscillation と言う。具体的な例には、空気抵抗などがある。減速力が− c x ˙ -c\dot{x} − c x ˙
m x ¨ + c x ˙ + k x = 0 ⟹ x ¨ + c m x ˙ + k m x = 0
\begin{align*}
&& m \ddot{x} +c \dot{x} +kx&=0
\\ \implies && \ddot{x} +\frac{c}{m} \dot{x} +\frac{k}{m}x&=0
\end{align*}
⟹ m x ¨ + c x ˙ + k x x ¨ + m c x ˙ + m k x = 0 = 0
ここで、ω 0 2 = k m {\omega_{0}}^{2}=\frac{k}{m} ω 0 2 = m k γ = c 2 m \gamma = \frac{c}{2m} γ = 2 m c ω 0 \omega_{0} ω 0 γ \gamma γ damping factor と呼ぶ。すると、運動方程式は下のようになる。
x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0
\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + {\omega_{0}} ^{2} x=0
x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0
このような微分方程式は微分演算子 D : = d d t D:=\frac{ d }{ d t} D := d t d
D 2 x + 2 γ D x + ω 0 2 x = 0 ⟹ ( D 2 + 2 γ D + ω 0 2 ) x = 0
\begin{align*}
&& D^{2}x + 2\gamma D x + {\omega_{0}} ^{2} x &=0
\\ \implies && \left( D^{2} +2\gamma D + {\omega_{0}} ^{2} \right)x &=0
\end{align*}
⟹ D 2 x + 2 γ D x + ω 0 2 x ( D 2 + 2 γ D + ω 0 2 ) x = 0 = 0
したがって、D 2 + 2 γ D + ω 0 2 = 0 D^{2}+2\gamma D +{\omega_{0}}^{2}=0 D 2 + 2 γ D + ω 0 2 = 0 根の公式 によって下のようになる。
D = − γ ± γ 2 − ω 0 2
D=-\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}} ^{2} }
D = − γ ± γ 2 − ω 0 2
したがって、
D x = ( − γ ± γ 2 − ω 0 2 ) x
Dx = \left( -\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}} ^{2}} \right)x
D x = ( − γ ± γ 2 − ω 0 2 ) x
これは単純な1階微分方程式 なので、解は以下のように求めることができる。
x ( t ) = A e ( − γ + γ 2 − ω 0 2 ) t + B e ( − γ − γ 2 − ω 0 2 ) t
\begin{equation}
x(t)=Ae^{(-\gamma + \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}}^{2}})t }+Be^{(-\gamma - \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}}^{2}})t }
\label{eq1}
\end{equation}
x ( t ) = A e ( − γ + γ 2 − ω 0 2 ) t + B e ( − γ − γ 2 − ω 0 2 ) t
このとき、A A A B B B γ 2 − ω 0 2 \gamma ^{2}-{\omega_{0}}^{2} γ 2 − ω 0 2
過減衰overdamping γ 2 − ω 0 2 > 0
\gamma ^{2} - {\omega_{0}}^{2}>0
γ 2 − ω 0 2 > 0
平衡点からバネがついた物体を引っ張って放したとき、物体は平衡点に戻るが、図のように減衰力が強いために振動は起こらない。
臨界減衰critical damping γ 2 − ω 0 2 = 0
{\gamma} ^{2} -{\omega_{0}}^{2}=0
γ 2 − ω 0 2 = 0
この場合、( eq1 ) \eqref{eq1} ( eq1 ) 以下のように知られている 。
x ( t ) = A e − γ t + B t e − γ t
x(t)=Ae^{-\gamma t} +Bte^{-\gamma t}
x ( t ) = A e − γ t + Bt e − γ t
過減衰と同様に振動は起こらないが、過減衰に比べて非常に速く平衡点近くまで到達することが分かる。
未減衰underdamping γ 2 − ω 0 2 < 0
\gamma^{2} -{\omega_{0}}^{2} <0
γ 2 − ω 0 2 < 0
簡単にするために、i ω d = γ 2 − ω 0 2 i\omega_{d}=\sqrt{\gamma^{2} - {\omega_{0}} ^{2}} i ω d = γ 2 − ω 0 2
x ( t ) = e − γ t ( A e i ω d t + B e − i ω d t )
x(t) = e^{-\gamma t}\left( A e^{i\omega_{d}t} + Be^{-i\omega_{d}t} \right)
x ( t ) = e − γ t ( A e i ω d t + B e − i ω d t )
このとき位置x x x x ∗ ( t ) = x ( t ) x^{\ast}(t)=x(t) x ∗ ( t ) = x ( t ) ∗ ^{\ast} ∗ 共役複素数 を意味する。これにより、以下の条件を得る。
A e i ω d t + B e − i ω d t = A ∗ e − i ω d t + B ∗ e i ω d t ⟹ B = A ∗
Ae^{i\omega_{d}t}+Be^{-i\omega_{d}t}=A^{\ast}e^{-i\omega_{d}t}+B^{\ast}e^{i\omega_{d}t} \implies B=A^{\ast}
A e i ω d t + B e − i ω d t = A ∗ e − i ω d t + B ∗ e i ω d t ⟹ B = A ∗
したがって、運動方程式は以下のようになる。
x ( t ) = e − γ t ( A e i ω d t + A ∗ e − i ω d t )
x(t) = e^{-\gamma t}\left( A e^{i\omega_{d}t} + A^{\ast}e^{-i\omega_{d}t} \right)
x ( t ) = e − γ t ( A e i ω d t + A ∗ e − i ω d t )
そして、A = a + i b A=a+ib A = a + ib
x ( t ) = e − γ t [ a ( e i ω d t + e − i ω d t ) + i b ( e i ω d t − e − i ω d t ) ]
x(t) = e^{-\gamma t}\left[ a\left( e^{i\omega_{d}t}+e^{-i\omega_{d}t}\right) + ib\left( e^{i\omega_{d}t}-e^{-i\omega_{d}t}\right) \right]
x ( t ) = e − γ t [ a ( e i ω d t + e − i ω d t ) + ib ( e i ω d t − e − i ω d t ) ]
オイラーの公式 を適用すると、以下のようになる。
x ( t ) = e − γ t [ 2 a cos ( ω d t ) − 2 b sin ( ω d t ) ]
x(t) = e^{-\gamma t}\left[ 2a\cos (\omega_{d}t)-2b\sin (\omega_{d}t) \right]
x ( t ) = e − γ t [ 2 a cos ( ω d t ) − 2 b sin ( ω d t ) ]
すると、三角関数の加法定理 により、ある実数A A A ϕ 0 \phi_{0} ϕ 0
x ( t ) = e − γ t A cos ( ω d t + ϕ 0 )
x(t)=e^{-\gamma t}A \cos(\omega_{d}t+\phi_{0})
x ( t ) = e − γ t A cos ( ω d t + ϕ 0 )
e − γ t e^{-\gamma t} e − γ t cos \cos cos
シミュレーション 減衰調和振動子の場合、振動数と減衰係数の差によって、過減衰、臨界減衰、未減衰に分けられる。各状態で振動子がどのように動くかを視覚的に見ることができれば、理解するのに大きな助けになる。Julia では、単にグラフを描くことを超えて、非常に簡単にgifファイルを作成して保存することができる。以下は、減衰調和振動子のアニメーションを作成して保存するコードと、実際の実行画面である。
using Plots
O_γ=3
O_ω=1
function Overdamping (x) 0.5 exp ((-O_γ+sqrt (O_γ^2 -O_ω^2 ))*x)+0.5 exp ((-O_γ-sqrt (O_γ^2 -O_ω^2 ))*x)
end
C_γ=1
C_ω=1
function Criticaldamping (x) exp (-C_γ*x)+x*exp (-C_γ*x)
end
U_γ=1
U_γ=U_γ^2
U_ω=5
U_ω=U_ω^2
function Underdamping (x) real (exp .(-U_γ*x).*cos .(1 im*sqrt (Complex(U_γ-U_ω))*x))
end
p = plot ([Overdamping, Criticaldamping, Underdamping], zeros (0 ),label=["Overdamping" "Criticaldamping" "Underdamping" ], xlim=(0 ,15 ), ylim=(-0.7 ,1.2 ))
anim = Animation()
for x = range(0 , stop=15 , length = 200 )
push!(p, x, Float64[Overdamping(x), Criticaldamping(x), Underdamping(x)])
frame(anim)
end
gif(anim,"Damping_fps30.gif" ,fps=30 )
参照 
