거리공간에서 연속함수일 동치 조건
定理1
二つの距離空間 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$について、$E\subset X$であり、$p \in E$、$f : E \to Y$とする。このとき、以下の三つの命題は同値である。
(1a) $f$が$p$で連続である。
(1b) $ \lim \limits_{x \to p} f(x)=f(p)$である。
(1c) $\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p$な$\left\{ p_{n} \right\}$について、$\lim \limits_{n\to\infty} f(p_{n})=f(p)$である。
証明
(1a) $\iff$ (1b)
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定理2
二つの距離空間 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$について、$f : X \to Y$とする。このとき、以下の三つの命題は同値である。
(2a) $f$が$X$で連続である。
(2b) すべての$Y$の開集合$O_{Y}$について$f^{-1}(O_{Y})$は$X$で開集合である。
(2c) すべての$Y$の閉集合$C_{Y}$について$f^{-1}(C_{X})$は$X$で閉集合である。
ここで$f^{-1}$は逆関数ではなく、原像(プリイメージ)を意味する。
証明
(2a) $\implies$ (2b)
$f$が$X$で連続であると仮定する。$O_{Y}$は$Y$で開集合である。開集合の定義によって $f^{-1}(O_{Y})$のすべての点が$f^{-1}(O_{Y})$の内点であることを示せばよい。任意の$f(p) \in O_{Y}$を考えよう。すると$p \in f^{-1}(O_{Y})$である。$O_{Y}$が開なので$f(p)$は$O_{Y}$の内点である。したがって
$$ \begin{equation} d_{Y}(y,f(p)) < \varepsilon \implies y \in O_{Y} \label{eq1} \end{equation} $$
が成り立つような正の数$\varepsilon$が存在する。すると$f$が$X$で連続であることから、このような$\varepsilon$について
$$ \begin{equation} d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \label{eq2} \end{equation} $$
が成り立つようなある$\delta >0$が存在する。ところが$\eqref{eq1}$、$\eqref{eq2}$より
$$ d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \implies f(x)\in O_{Y} $$
であるから$x \in f^{-1}(O_{Y})$である。するとある正の数$\delta$について
$$ d_{X}(x,p) < \delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y}) $$
が成り立つので$p$は$f^{-1}(O_{Y})$の内点であり、$f^{-1}(O_{Y})$は開である。
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(2b) $\implies$ (2a)
**(2b)**を仮定する。そして任意の$p \in X$と$\varepsilon >0$を選ぶ。そして集合$O_{Y}$を次のようにする。
$$ O_{Y} =\left\{ y : d_{Y}(y,f(p))<\varepsilon \right\} $$
すると$O_{Y}$は$Y$で開集合である。すると仮定により$f^{-1}(O_{Y})$は$X$で開集合である。したがって
$$ d_{X}(x,p) <\delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y}) $$
を満たす正の数$\delta >0$が存在する。すると
$$ x\in f^{-1}(O_{Y}) \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)< \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon $$
が成り立つので連続の定義により$f$はすべての$p \in X$で連続である。
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(2b) $\iff$ (2c)
(2b) $\implies$ (2c) だけを示せば、同じ論理で逆方向も示せるので残りの証明は省略する。**(2b)**が成り立つと仮定する。$Y$で開集合$O_{Y}$について分解すると以下のようになる。
$$ O_{Y}\mathrm{\ is\ open\ in\ } Y \implies f^{-1}(O_{Y})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$
開集合は閉集合の補集合であるから$O_{Y}=(C_{Y})^{c}$とおくと上の文は次のようになる。
$$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}((C_{Y})^{c})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$
ところが$f^{-1}((C_{Y})^{c})=(f^{-1}(C_{Y}))^{c}$なので次が成り立つ。
$$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies (f^{-1}(C_{Y}))^{c}\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$
また、開集合の補集合は閉集合であるので次が成り立つ。
$$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}(C_{Y})\mathrm{\ is\ closed\ in\ }X $$
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