📂幾何学

傾きmの円の接線の方程式

公式

円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ の傾きが $m$ の接線の方程式は、以下の通りだ。

$$y=mx \pm r\sqrt{m^{2}+1}$$

証明

傾きが $m$ の直線の方程式を $y=mx+n$ としよう。円の方程式に代入してxに関して整理すると

$$\begin{align*} x^2+(mx+n)^2 =&\ r^2 \\ x^2+m^2x^2+2mnx+n^2-r^2 =&\ 0 \\ (1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2 =&\ 0 \end{align*}$$

円と直線が接しているため、判別式は $D=0$ だ。

$$\begin{align*} D =&\ (2mn)^2-4(1+m^2)(n^2-r^2) \\ =&\ 4m^2n^2-4(n^2-r^2+m^2n^2-m^2r^2) \\ =&\ 4m^2n^2-4n^2+4r^2-4m^2n^2+4m^2r^2 \\ =&\ -4(n^2-r^2-m^2r^2)=0 \end{align*}$$

したがって

$$\begin{align*} && n^2 =&\ r^2m^2+r^2=r^2(m^2+1) \\ \implies && n =&\ \pm r\sqrt{m^2+1} \end{align*}$$

従って、円 $x^2+y^2=r^2$ に接して傾きが $m$ の接線の方程式は

$$y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$$

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