📂距離空間

距離空間内のコーシー数列と完備性

定義

• $\left\{ p_{n} \right\}$を距離空間$(X,d)$の点の数列とする。全ての正の数$\varepsilon$に対して

  $$ n\ge N,\ m\ge N \implies d(p_{n},p_{m})<\varepsilon $$

  が成り立つ正の数$N$が存在するならば、$\left\{ p_{n} \right\}$をコーシー数列^{Cauchy sequence}という。

• 距離空間$X$の全てのコーシー数列が$X$の点に収束するならば、$X$を完備空間という。

説明

以下の定理により、全てのコンパクト距離空間とユークリッド空間は完備であることがわかる。

定理

(a) 距離空間で、全ての収束する数列はコーシー数列である。

(b) $X$がコンパクト距離空間で$\left\{ p_{n} \right\}$が$X$のコーシー数列であるとする。その場合、$\left\{ p_{n} \right\}$はある$p\in X$に収束する。

(c) $\mathbb{R}^{k}$で、全てのコーシー数列は収束する。

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(a), (b) を一緒に言えば、「コンパクト距離空間で収束する数列とコーシー数列は同値である」となる。

証明

(a)

$p_{n} \to p$かつ$\varepsilon >0$が与えられたとする。それならば$\forall n \ge N,\ d(p,p_{n})<\varepsilon$を満たす$N$が存在する。したがって、次が成り立つ：

$$ d(p_{n},p_{m}) \le d(p_{n},p)+d(p,p_{m})<2\varepsilon,\quad \forall m,n\ge N $$

従って、定義により$\left\{ p_{n} \right\}$はコーシー数列である。

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(b)

$\left\{ p_{n} \right\}$をコンパクト距離空間$X$のコーシー数列とする。そして、任意の自然数$N$に対して次のようであるとする：

$$ E_{N}=\left\{ p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\cdots\right\} $$

すると、次が成り立つ：

$$ \begin{equation} \lim \limits_{N\to\infty}\mathrm{diam\ }\overline{E_{N}}=0 \label{eq1} \end{equation}$$

また、$\overline{E_{N}}$はコンパクト空間$X$の閉じた部分集合なので、$\overline{E_{N}}$はコンパクトである。さらに、次の式が成り立つことは自明である：

$$ E_{N}\supset E_{N+1} \quad \text{and} \quad \overline{E_{N}}\supset \overline{E_{N+1}} $$

従って、上記の条件から、$\forall N \in \mathbb{N},\ p \in \overline{E_{N}}$を満たす唯一の$p \in X$が存在する¹ことがわかる。今、$\varepsilon >0$が与えられたとする。それならば$\eqref{eq1}$により、

$$ N \ge N_{0}\implies \mathrm{diam\ }\overline{E_{N}}< \varepsilon $$

が成り立つ$N_{0}$が存在する。しかし、$\mathrm{diam\ }\overline{E}=\mathrm{diam\ }E$かつ$p \in \overline{E_{N}}$であるので、全ての$q \in E_{N}$に対して$d(p,q)<\varepsilon$が成り立つ。言い換えると、次のようになる：

$$ n \ge N_{0} \implies d(p_{n},p)< \varepsilon $$

これは$p_{n}\to p$の定義なので、$\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p$

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(c)

$\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$を$\mathbb{R}^{k}$でのコーシー数列とする。$E_{N}$を証明 (b) と同じものとする。それならば、

$$ \mathrm{diam\ } E_{N} <1 $$

を満たす$N$を選んだとする。そして、

$$ r=\max \left\{ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{1}),\ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{2}),\ \cdots,\ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{N-1}),\ 1 \right\} $$

だとするなら、$\forall m,n \in \mathbb{N},\ d(\mathbf{x}_{n},\mathbf{x}_{m}) <r$のため、$\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$は有界である。したがって、$\overline{ \left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}}$は閉じていて有界な$\mathbb{R}^{k}$の部分集合なので、コンパクトである。従って、$\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$はコンパクト空間のコーシー数列であり、したがって**（b）**により、$\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$は収束する。

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