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収束する実数列の性質 📂解析学

収束する実数列の性質

定理11

{sn}\left\{ s_{n} \right\}, {tn}\left\{ t_{n} \right\}が実数（または複素数）の数列で、lim⁡n→∞sn=s\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=s, lim⁡n→∞tn=t\lim\limits_{n\to\infty}t_{n}=tとすると

  • (a) lim⁡n→∞(sn+tn)=s+t\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}+t_{n})=s+t

  • (b) ∀c∈C,lim⁡n→∞csn=csandlim⁡n→∞(c+sn)=c+s\forall c \in \mathbb{C},\quad\lim \limits_{n\to\infty} cs_{n}=cs \quad \text{and} \quad \lim \limits_{n\to\infty} (c+s_{n})=c+s

  • (c) lim⁡n→∞sntn=st\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st

  • (d) ∀sn≠0,s≠0,lim⁡n→∞1sn=1s\forall s_{n}\ne 0,s\ne0,\quad \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s}

もちろんRk\mathbb{R}^{k}についても拡張可能だ。定理2を確認しよう。

証明

(a)

任意の正数ε>0\varepsilon>0が与えられたとする。すると、以下の条件を満たす2つの正数N1N_{1}, N2N_{2}が存在する。

n≥N1  ⟹  ∣sn−s∣<ε2n≥N2  ⟹  ∣tn−t∣<ε2 \begin{align*} n \ge N_{1} &\implies \left|s_{n}-s \right|<\frac{\varepsilon}{2} \\ n \ge N_{2} & \implies \left|t_{n}-t \right|<\frac{\varepsilon}{2} \end{align*}

今、N=max⁡(N1,N2)N=\max(N_{1},N_{2})としよう。そうすると、n≥Nn \ge Nに対して

∣(sn+tn)−(s+t)∣≤∣sn−s∣+∣tn−t∣<ε \left| (s_{n}+t_{n})-(s+t) \right| \le\left| s_{n}-s \right|+\left| t_{n} -t\right|<\varepsilon

である。従って

lim⁡n→∞(sn+tn)=s+t \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}+t_{n})=s+t

■

(b)

**(a)**が成り立つことにより自明である。

■

(c)(c)

任意の正数ε>0\varepsilon >0が与えられたとする。すると、以下の式を満たす2つの正数N1N_{1}, N2N_{2}が存在する。

n≥N1  ⟹  ∣sn−s∣<εn≥N2  ⟹  ∣tn−t∣<ε \begin{align*} n \ge N_{1} &\implies \left|s_{n}-s \right|<\sqrt{\varepsilon} \\ n \ge N_{2} & \implies \left|t_{n}-t \right|< \sqrt{\varepsilon} \end{align*}

今、N=max⁡(N1,N2)N=\max (N_{1},N_{2})とすると

n≥N  ⟹  ∣(sn−s)(tn−t)∣<ε n \ge N \implies \left| (s_{n}-s) (t_{n}-t) \right|<\varepsilon

従って

lim⁡n→∞(sn−s)(tn−t)=0 \begin{equation} \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}-s)(t_{n}-t)=0 \label{eq1} \end{equation}

この時

sntn−st=(sn−s)(tn−t)+s(tn−t)+t(sn−s) s_{n}t_{n}-st=(s_{n} -s)(t_{n}-t)+s(t_{n}-t)+t(s_{n}-s)

が成り立つ。上の式に(a)**, (b), (eq1)\eqref{eq1}を適用すると

lim⁡n→∞(sntn−st)=lim⁡n→∞(sn−s)(tn−t)+lim⁡n→∞s(tn−t)+lim⁡n→∞t(sn−s)=0+0+0=0 \begin{align*} \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}t_{n}-st)&=\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}-s)(t_{n}-t)+\lim \limits_{n\to\infty}s(t_{n}-t)+\lim \limits_{n\to\infty}t(s_{n}-s) \\ &= 0+0+ 0 \\ &= 0 \end{align*}

従って

lim⁡n→∞sntn=st \lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st

■

(d)

lim⁡n→∞sn=s\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=sと仮定したので、以下の式を満たす正数mmを選ぶことができる。

∀n≥m,∣sn−s∣<12∣s∣ \forall n\ge m,\quad \left|s_{n}-s \right| < \frac{1}{2}\left|s \right|

しかし、∣s∣−∣sn∣≤∣sn−s∣\left|s \right|-\left|s_{n} \right| \le \left|s_{n}-s \right|なので、上の式から以下の式を得る。

∀n≥m,∣sn∣>12∣s∣ \begin{equation} \forall n \ge m,\quad \left|s_{n} \right|>\frac{1}{2}\left|s \right| \label{eq2} \end{equation}

今、任意の正数ε>0\varepsilon>0が与えられたとする。すると、以下の式を満たすNNが存在する。

n≥N  ⟹  ∣sn−s∣<12∣s∣2ε \begin{equation} n \ge N \implies \left|s_{n}-s \right| < \frac{1}{2}\left|s \right|^{2}\varepsilon \label{eq3} \end{equation}

従って(eq2)\eqref{eq2}, (eq3)\eqref{eq3}により、n≥Nn \ge Nに対して

∣1sn−1s∣=∣sn−ssns∣<2∣s∣2∣sn−s∣<ε \left|\frac{1}{s_{n}}-\frac{1}{s} \right|=\left|\frac{s_{n}-s}{s_{n}s} \right|<\frac{2}{\left|s \right|^{2}}\left|s_{n}-s \right|<\varepsilon

なので

lim⁡n→∞1sn=1s \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s}

■

定理2

xn∈Rk\mathbf{x}_{n} \in \mathbb{R}^{k}がxn=(xn,1,xn,2,⋯ ,xn,k)\mathbf{x}_{n}=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots,x_{n,k})だとする。そうすると

  • (e) xn{\mathbf{x}_{n}}がx=(x1,x2,⋯ ,xk)\mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{k})に収束する必要十分条件はlim⁡n→∞xn,j=xj(1≤j≤k)\lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j} (1\le j \le k)が成り立つことである。

  • (f) {xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}, {yn}\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}をRk\mathbb{R}^{k}での数列、{βn}\left\{ \beta_{n} \right\}を実数列とする。そして、以下の関係が成り立つと仮定する。

    lim⁡n→∞xn=x,lim⁡n→∞yn=y,lim⁡n→∞βn=β \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x},\quad\lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{y}_{n} = \mathbf{y}, \quad \lim \limits_{n\to\infty} \beta_{n}=\beta

    そうすると

    lim⁡n→∞(xn+yn)=x+y,lim⁡n→∞xn⋅yn=x⋅y,lim⁡n→∞βnxn=βx \lim \limits_{n\to\infty}(\mathbf{x}_{n}+\mathbf{y}_{n})=\mathbf{x}+\mathbf{y},\quad \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}\cdot \mathbf{y}_{n}=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y},\quad \lim \limits_{n\to\infty}\beta_{n}\mathbf{x}_{n}=\beta\mathbf{x}

    が成り立つ。

証明

(e)

  • (  ⟹  )(\implies)

    xn→x\mathbf{x}_{n} \to \mathbf{x}と仮定する。するとRk\mathbb{R}^{k}上での距離の定義により

    ∣xn,j−xj∣≤∣xn−x∣ \left| x_{n,j}- x_{j} \right| \le \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right|

    は自明だ。従って仮定により、全ての正数ε\varepsilonに対して

    n≥N  ⟹  ∣xn,j−xj∣≤∣xn−x∣<ε n \ge N \implies \left| x_{n,j}- x_{j} \right| \le \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right| < \varepsilon

    を満たすNNが存在するので

    lim⁡n→∞xn,j=xj(1≤j≤k) \lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j}\quad (1\le j \le k)

    が成り立つ。

    ■

  • (  ⟸  )(\impliedby)

    各jjに対してlim⁡n→∞xn,j=xj\lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j}が成り立つと仮定する。すると全ての正数ε\varepsilonに対して

    n≥N  ⟹  ∣xn,j−xj∣<εk n \ge N \implies \left|x_{n,j} -x_{j} \right| <\frac{\varepsilon}{\sqrt{k} }

    を満たすNNが存在する。従って、同じ正数ε\varepsilon, NNに対して

    n≥N  ⟹  ∣xn−x∣=∣xn,1−x1∣2⋯∣xn,k−xk∣2<kε2k=ε n \ge N \implies \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right|=\sqrt{\left|x_{n,1}-x_{1} \right|^{2}\cdots\left|x_{n,k}-x_{k} \right|^{2}}<\sqrt{k\frac{\varepsilon^{2}}{k}}=\varepsilon

    なので

    lim⁡n→∞xn=x \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x}

■

(f)

定理1 と (e) によって成り立つ。

■

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p49-51 ↩︎