メトリック空間におけるコンパクト性
定義
オープンカバー
距離空間$(X,d)$と部分集合$E\subset X$が与えられたとする。下の式を満たす$X$の開集合の集合$\left\{ O_{\alpha} \right\}$を$E$のオープンカバーopen coverと呼ぶ。
$$ E\subset \bigcup _{\alpha} O_{\alpha} $$
オープンカバーの部分集合を部分カバーと呼ぶ。特に要素が有限個の部分カバーを有限部分カバーと呼ぶ。
コンパクト
距離空間$X$の部分集合$K$が与えられたとする。もし$K$のすべてのオープンカバーが有限部分カバーを持つなら、$K$がコンパクトcompactであると言う。つまり、オープンカバーから有限個だけ選んでもまだオープンカバーになる場合、$K$をコンパクトであると呼ぶ。もう一度言い換えると、式で表現するとある$\alpha_{1},\cdots ,\alpha_{n}$に対して
$$ K\subset O_{\alpha_{1}}\cup \cdots O_{\alpha_{n}} $$
が成立するなら、$K$がコンパクトである。
説明
コンパクトが重要な理由は、全体空間を何にするかによって、その集合がコンパクトという性質を得たり失ったりするからである。つまりコンパクトはその集合が持つ固有の性質という意味である。遠くない例で、開という概念を見ても、全体空間を拡張するときに開いているという性質が保持される保証がないので、相対的に開いているという表現がある。勉強を続けると、コンパクトという条件が様々な定理で重要な役割を果たすことがわかる。コンパクトは全体空間と無関係に集合に与えられる性質であることを以下の定理で確認できる。まずは$K\subset X$が全体空間$X$に対してコンパクトであるとき、$X$でコンパクトであると表現しよう。
定理
二つの距離空間$X$、$Y$に対して$K\subset Y \subset X$とする。そのとき、以下の二つの命題は同値である。
(a) $K$は$X$でコンパクトである。
(b) $K$は$Y$でコンパクトである。
証明
二つの距離空間$X$、$Y$が与えられたとする。そして$E \subset Y \subset X$とする。そのとき、以下の二つの命題は同値である。$(d)$$E$が$Y$に対して相対的に開いている。$(e)$$X$のある開集合$O_{X}$に対して$E=Y \cap O_{X}$が成立する。
(a)から(b)
$K$が$X$でコンパクトであると仮定する。$\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$を$K\subset \bigcup_{\alpha} O_{\alpha}^{Y}$を満たす$Y$で開いている集合の集合とする。言い換えると、$\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$を$K$の$Y$に対する任意のオープンカバーとする。すると補題により
$$ O_{\alpha}^{Y}=Y\cap O_{\alpha}^{X},\quad \forall \alpha $$
を満たす$X$で開いている集合$O_{\alpha}^{X}$が存在する。すると$\left\{ O_{\alpha}^{X} \right\}$は$K$の$X$に対するオープンカバーになる。すると仮定によりある$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$に対して以下の式が成立する。
$$ K \subset O_{\alpha_{1}}^{X}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{X} $$
しかし$K\subset Y$であるので、次が成立する。
$$ \begin{align*} K & \subset Y \cap (O_{\alpha_{1}}^{X}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{X}) \\ &= (Y \cap O _{\alpha_{1}}^{X})\cup\cdots \cup(Y \cap O_{\alpha_{n}}^{X}) \\ &= O_{\alpha_{1}}^{Y}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{Y} \end{align*} $$
従って、$K$の$Y$に対する任意のオープンカバー$\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$の有限部分カバーが
$$ K \subset O_{\alpha_{1}}^{Y}\cup\cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{Y} $$
を満たすので、$K$は$Y$でコンパクトである。
(b)から(a)
$K$が$Y$でコンパクトであると仮定する。$\left\{ O_{\alpha}^{X} \right\}$を$K\subset \bigcup_{\alpha} O_{\alpha}^{X}$を満たす$X$で開いている集合の集合とする。つまり、$K$の$X$に対する任意のオープンカバーとする。そして$O_{\alpha}^{Y}$を以下のように設定する。
$$ O_{\alpha}^{Y}=Y\cap O_{\alpha}^{X},\quad \forall \alpha $$
すると補題により▷eq63
◁は$Y$で開いている集合になる。従って$\left\{ O_{\alpha}^{Y} \right\}$は$K$のオープンカバーである。すると仮定によりある$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$に対して以下の式が成立する。
$$ K \subset O_{\alpha_{1}}^{Y}\cup \cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{Y} $$
しかし、各$\alpha$に対して$O_{\alpha}^{Y} \subset O_{\alpha}^{X}$であるので、次が成立する。
$$ K\subset O_{\alpha_{1}}^{X}\cup \cdots \cup O_{\alpha_{n}}^{X} $$
従って、$K$の任意のオープンカバーが常に有限部分カバーを持つので、$K$は$X$でコンパクトである。
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