📂解析学

関数の大小関係に基づく積分の大小関係

この記事はリーマン-シュティルチェス積分に基づいて書かれた。$\alpha=\alpha (x)=x$とした場合、リーマン積分と同じである。

定理¹

二つの関数$f_{1}, f_{2}$が区間$[a,b]$でリーマン(-シュティルチェス)積分可能だとしよう。また、$[a,b]$で$f_{1} \le f_{2}$とする。すると、以下の不等式が成り立つ。

$$\int_{a}^{b}f_{1}d\alpha \le \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha$$

証明

正の数$\varepsilon >0$が与えられたとしよう。すると$f_{2}$が積分可能であるため、必要十分条件により、以下の式を満たす$[a,b]$の分割$P=\left\{ a=x_{0},\cdots,x_{n}=b \right\}$が存在する。

$$U(P,f_{2},\alpha) - L(P,f_{2},\alpha) < \varepsilon$$

すると区間$[a,b]$で$f_{1}\le f_{2}$であるから、上和の定義により、以下の式が成り立つ。

$$\begin{equation} U(P,f_{1},\alpha) \le U(P,f_{2},\alpha) \label{eq1} \end{equation}$$

また、積分の定義により、以下の不等式が成り立つ。

$$\begin{equation} \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha \le U(P,f_{1},\alpha) \tag{2} \label{eq2} \end{equation}$$

また、以下の式が成り立つ。

$$\begin{equation} U(P,f_{2},\alpha) < \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha +\varepsilon \label{eq3} \end{equation}$$

これで$\eqref{eq1}, \eqref{eq2}, \eqref{eq3}$を総合すると、以下の式を得る。

$$\int_{a}^{b}f_{1}d\alpha < \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha +\varepsilon$$

この時、$\varepsilon$は任意の正の数であるため、以下が成り立つ。

$$\int_{a}^{b}f_{1}d\alpha \le \int_{a}^{b}f_{2}d\alpha$$

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