📂解析学

区間内で保持されるリーマン-スティルチェスの可積分性

この文章はリーマン-スティルチェス積分を基準にして書かれたものだ。$\alpha=\alpha (x)=x$としたら、リーマン積分と同じになる。

定理 ¹

関数$f$が$[a,b]$でリーマン(-スティルチェス)積分可能であるとしよう。そして$a<c<b$としよう。その場合、$f$は$[a,c]$と$[c,b]$でも積分可能であり、その積分値の合計は$[a,b]$での積分値と同じだ。

$$\int_{a}^{c}fd\alpha + \int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}f d\alpha$$

証明

第一部では、$f$が区間$[a,c]$と$[c,b]$で積分可能であることを示す。第二部では、分割された区間での積分値の和が全区間での積分値と同じであることを示す。

---

• パート1 $f$は$[a,c]$、$[c,b]$で積分可能である

  正数$\varepsilon >0$が与えられたとする。すると、積分可能であるための必要十分条件により、下の式を満たす$[a,b]$の分割$P=\left\{ a=x_{0},\cdots,x_{n}=b \right\}$が存在する。

  $$U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \varepsilon$$

  そして、$P^{\ast}=P\cup \left\{ c \right\}$としよう。すると、$P^{\ast}$は$P$の細分である。今、$P^{\ast}$を以下のように分けよう。

  $$P_{1}^{\ast}=\left\{a=x_{0},\cdots,c\right\} \quad \text{and} \quad P_{2}^{\ast}=\left\{ c,\cdots,x_{n}=b \right\}$$

  すると、上和、下和の定義により、下の式が成り立つことは明らかだ。

  $$\begin{align*} U(P_{1}^{\ast},f,\alpha) + U(P_{2}^{\ast},f,\alpha)&=U(P^{\ast},f,\alpha) \\ L(P_{1}^{\ast},f,\alpha) + L(P_{2}^{\ast},f,\alpha)&=L(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*}$$

  従って、以下の不等式が成り立つ。 $$U(P_{i}^{\ast},f,\alpha) -L(P_{i}^{\ast},f,\alpha) \le U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f, \alpha)\quad (i=1,2)$$

  また、細分の上和(下和)は分割よりも小さい(大きい)ので、以下が成り立つ。

  $$\begin{align*} U(P_{i}^{\ast},f,\alpha) -L(P_{i}^{\ast},f,\alpha) &\le U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f,\alpha) \\ &\le U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*}$$

  従って、積分可能であるための必要十分条件により、$f$は$[a,c]$、$[c,b]$で積分可能である。

• パート2 $\displaystyle \int_{a}^{c}fd\alpha +\int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}fd\alpha$

  積分の定義により、以下の不等式が成り立つ。

  $$\int_{a}^{b}fd\alpha \le U(P^{\ast},f,\alpha)=U(P_{1}^{\ast},f,\alpha)+U(P_{2}^{\ast},f, \alpha)$$

  また、以下の不等式が成り立つ。

  $$\begin{align*} U(P_{1}^{\ast},f,\alpha) &< \int_{a}^{c}fd\alpha +\varepsilon \\ U(P_{2}^{\ast},f,\alpha) &< \int_{c}^{b}fd\alpha +\varepsilon \end{align*}$$

  従って、以下が成り立つ。

  $$\begin{equation} \int_{a}^{b}fd\alpha < \int_{a}^{c}fd\alpha+\int_{c}^{b}fd\alpha +2\varepsilon \label{eq1} \end{equation}$$

  同じ方法で、以下の不等式も成り立つ

  $$\begin{align} \int_{a}^{c}fd\alpha +\int_{c}^{b}f d\alpha & \le U(P_{1}^{\ast},f,\alpha)+U(P_{2}^{\ast},f,\alpha) \nonumber \\ &=U(P^{\ast}f,a\alpha) \nonumber \\ &< \int_{a}^{b}fd\alpha +\varepsilon \label{eq2} \end{align}$$

  $\varepsilon$は任意の正数なので、$\eqref{eq1}, \eqref{eq2}$により、以下の等式が成り立つ

  $$\int_{a}^{c}fd\alpha +\int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}fd\alpha$$

  ■