三次方程式の根の公式
式
3次方程式$t^{3}+pt+q = 0$の解は次の通りだ。
$$ \begin{cases} t_{1}=u_{1}+v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ t_{2}=u_{2}+v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2} \\ t_{3}=u_{3}+v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega\end{cases} $$
この時$\omega = e^{i\frac{2}{3}\pi}$である。
証明
カルダノの方法
3次方程式$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\ne0)$が与えられたとする。解法を簡単にするために、一般性を損なわずに下のように表す。
$$ \begin{equation} x^{3}+ax^{2} +bx+c=0 \end{equation} $$
2次項を取り除くために、$x=t-{\textstyle \frac{a}{3}}$と置換する。すると以下のようになる。
$$ \begin{align*} &&\left( t- \frac{a}{3}\right)^{3}+a\left( t-\frac{a}{3} \right)^{2}+b\left( t-\frac{a}{3} \right) + c &=0 \\ \implies && \left( t^{3}-\cancel{at^{2}}+\frac{a^{2}}{3}t-\frac{a^{3}}{27} \right)+\left(\cancel{at^{2}}-\frac{2a^{2}}{3}t + \frac{a^{3}}{9}\right) + \left( bt-\frac{ab}{3} \right) +c &= 0 \\ \implies && t^{3}+\left( \frac{a^{2}}{3} -\frac{2a^{2}}{3}+b \right)t +\left( -\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{ab}{3}+c \right)&=0 \\ \implies && t^{3}+\left( b- \frac{a^{2}}{3} \right)t +\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)&=0 \end{align*} $$
ここでさらに式を簡単にするため、$p=b-\frac{a^{2}}{3}$、$q=\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c$とすると、上の式は以下のようになる。
$$ \begin{equation} t^{3}+pt+q = 0 \end{equation} $$
ここで一度更に$t=u+v$と置換すると、上の式は以下のようになる。
$$ \begin{equation} (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0 \end{equation} $$
また、乗法公式により、次の式が成立する。
$$ (u+v)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{2}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v) $$
上の式の右辺を全て左辺に移項すると、以下の式を得る。
$$ \begin{equation} (u+v)^{3} - 3uv(u+v) - (u^{3}+v^{3})=0 \end{equation} $$
$(3)$と$(4)$を比較すれば、$(3)$を解くことは$p=-3uv$、$q=-(u^{3}+v^{3})$を満たす$u$、$v$を見つけることと同じであることがわかる。2つの式を$u$、$v$に対して書くと、以下の通りだ。
$$ \begin{align*} u^{3}v^{3} &= -\frac{p^{3}}{27} \\ u^{3}+v^{3} &= -q \end{align*} $$
この時、2次方程式の根と係数の関係を考えると$u^{3}$、$v^{3}$は下の2次方程式の2つの根であることがわかる。
$$ X^{2} +qX -\frac{p^{3}}{27}=0 $$
すると、根の公式により、次の式が成立する。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} X_{1}&=u^{3}=\frac{-q+\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} \\ X_{2}&= v^{3}=\frac{-q-\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} \end{aligned} \end{equation} $$
この時、任意の実数$\alpha$に対して、$z^{3}=\alpha$を満たす3つの虚根は以下の通りだ。
$$ z_{1}=\sqrt[3]{\alpha} \quad \text{and} \quad z_{2}=\sqrt[3]{\alpha}\omega \quad \text{and} \quad z_{3}=\sqrt[3]{\alpha}\omega^{2} $$
この時、$\omega$は$\omega^{3}=1$を満たす複素数で、具体的には$\omega=e^{i\frac{2}{3}\pi}=\cos (\frac{2}{3}\pi)+i\sin (\frac{2}{3}\pi)$である。したがって、$(5)$を満たす$u, v$は以下の通りだ。
$$ \begin{cases} u_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ u_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega \\ u_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}\end{cases}\quad \text{and} \quad \begin{cases} v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega \\ v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}\end{cases} $$
しかし、$p=-uv$は実数であるため、掛け合わせて実数になる組み合わせのみが解である。したがって、解は以下の通りだ。
$$ \begin{cases} t_{1}=u_{1}+v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ t_{2}=u_{2}+v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2} \\ t_{3}=u_{3}+v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega\end{cases} $$
すべての3次方程式は、置換を通じて$(2)$のように2次項がない形に表せるため、上の公式だけで十分である。$(1)$に対する公式として表すと、以下の通りだ。
$$ \begin{cases} x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}-\frac{a}{3} \\ x_{2}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega^{2} -\frac{a }{3} \\ x_{3}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega -\frac{a }{3} \end{cases} $$
■