📂古典力学

ケプラーの第三法則：世界の調和

ケプラーの第3法則: 調和の法則

惑星の公転周期の二乗は、その軌道の半長軸の三乗に比例する。

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ケプラーの惑星運動の法則の中の第三法則である。惑星の公転軌道を円と近似する場合、「公転周期の二乗は太陽までの距離の三乗に比例する」となる。

証明¹

惑星の公転軌道の面積を$A$、面積速度を$\dot {A}$としよう。ケプラーの第2法則から、面積速度は以下のように一定の定数であることがわかる。

$$ \begin{equation} \dot{A}=\frac{L}{2m}=\frac{l}{2}=\text{constant} \label{eq1} \end{equation} $$

$l=\frac{L}{m}$は質量あたりの角運動量である。周期は、惑星が一周するのにかかる時間である。これを$\tau$と表す。すると、面積速度、周期の定義と$\eqref{eq1}$により、以下の式が成り立つ。

$$ A=\int_{0}^{\tau}\dot{A}dt=\frac{l\tau}{2} $$

したがって、以下のようになる。

$$ \tau=\frac{2A}{l} $$

しかし、楕円の面積は$ab\pi$であることがよく知られている。したがって、周期は以下のようになる。

$$ \tau = \frac{2ab\pi}{l} $$

今、下の図を見よう。

楕円の長半径、短半径、離心率は式$b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}}$を満たす。周期に代入すると、以下の式を得る。

$$ \tau = \frac{2\pi a^{2}\sqrt{1-\epsilon^{2}}}{l} $$

上記の式の両辺を二乗すると、以下のようになる。

$$ \tau ^{2} = \frac{4\pi^{2}a^{4}}{l^{2}}(1-\epsilon^{2}) $$

この時、楕円の通径は$\alpha=a(1-\epsilon^{2})$であるので、上記の式は以下のようになる。

$$ \tau^{2} = \frac{4 \pi^{2}\alpha}{l^{2}}a^{3} $$

さらに、太陽の重力によって動く惑星の軌道の通径が$\alpha=\frac{l^{2}}{GM}$であるので、以下のようになる。

$$ \tau ^{2} = \frac{4\pi^{2}}{GM}a^{3} $$ ここで、$G$は重力定数、$M$は太陽の質量である。見ての通り、先の比例定数$\frac{4\pi^{2}}{GM}$は、太陽の重力の影響下で太陽の周りを回るすべての物体に対して等しく適用される。

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