📂古典力学

中心力を受ける粒子の軌道方程式

中心力を受ける粒子の軌道方程式¹

中心力を受ける質量が$m$の粒子の運動方程式を極座標系で表すと以下の通りだ。

$$ \begin{equation} m\ddot{\mathbf{r}}=F(r)\hat{\mathbf{r}} \label{eq1} \end{equation} $$

$F(r)$は粒子に作用する中心力だ。極座標系での加速度は以下のようになる。

$$ \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{a}=\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}{}^{2} \right)\hat{\mathbf{r}} +\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right)\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

したがって、運動方程式$\eqref{eq1}$を成分ごとに分けて書くと以下のようになる。

$$ \begin{align} m\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}{}^{2} \right) &= F(r) \label{eq2} \\ m\left( 2\dot{r} \dot{\theta} +r\ddot{\theta}\right) &= 0 \nonumber \end{align} $$

この時、$\frac{1}{r}\frac{ d }{ dt }(r^{2}\dot{\theta})=2\dot{r} \dot{\theta} +r\ddot{\theta}$なので、上の二番目の式を以下のように書き換えることができる。

$$ \frac{ d }{ d t }(r^{2}\dot{\theta})=0 $$

これは$r^{2}\dot{\theta}$が定数であるという意味だ。今、その定数を$l$としよう。

$$ \begin{equation} r^{2}\dot{\theta}=\text{constant}=l \label{eq3} \end{equation} $$

一方、中心力によって運動する粒子の角運動量の大きさは以下の通りである。

$$ \begin{equation} L=mr^{2}\dot{\theta} \tag{4} \label{eq4} \end{equation} $$

したがって、$\eqref{eq3}$, $\eqref{eq4}$により次の式を得る。

$$ \left| l \right| =\frac{ L}{ m }=\left| \mathbf{r} \times \mathbf{v} \right| $$

が成立する。したがって、$l$は粒子の単位質量あたりの角運動量と解釈できる。$l$が定数であるということは、中心力によって動く粒子の角運動量が保存されるというすでに知られている結果だ。そこで、時間に関係ない空間での粒子の軌道を求めるために、以下のように新しい変数を導入しよう。

$$ u=\frac{1}{r} $$

すると、$\eqref{eq3}$により$\dot{\theta}=lu^{2}$が成り立つ。これで、$\dot{r}$、$\ddot{r}$を求めると以下のようになる。

$$ \begin{align*} \dot{r} &= \frac{ d }{ d t}\left( \frac{1}{u} \right) \\ &= \dfrac{d}{du}\left(\frac{1}{u} \right) \frac{ d u}{ dt } = -\frac{ 1 }{ u^{2} }\frac{ d u}{ d t } \\ &= -\frac{ 1}{ u^{2} }\frac{ d u}{ d \theta }\frac{ d \theta}{ d t } =-\frac{1}{u^{2}}\dot{\theta} \frac{ d u}{ d\theta } \\ &= -l\frac{ d u}{ d\theta } \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \ddot{r} &= -l\frac{ d }{ dt }\left( \frac{ d u}{ d \theta } \right) \\ &= -l \frac{ d }{ d\theta }\left( \frac{ d u}{ d\theta } \right)\frac{ d \theta}{ d t } \\ &= -l\dot{\theta} \frac{ d ^{2}u }{ d \theta^{2} } \\ &= -l^{2}u^{2}\frac{ d ^{2}u}{ d \theta^{2} } \end{align*} $$

これらを$\eqref{eq2}$に代入すると、以下の式を得る。

$$ \begin{align*} && -ml^{2}u^{2}\frac{ d ^{2} u}{ d \theta^{2} }-ml^{2}u^{3}&=F({\textstyle \frac{1}{u}}) \\ \implies && \frac{ d^{2} u}{ d \theta^{2}}+u&=-\frac{1}{ml^{2}u^{2}}F({\textstyle \frac{1}{u}}) \end{align*} $$

ここで、力$F$が重力のように距離の逆二乗に比例する場合、軌道は楕円になり、これを惑星の運動に適用したものがケプラーの第一法則である。