📂微分積分学

双曲線関数の微分法

定理¹

$$\left( \sinh x \right)^{\prime} = \cosh x$$

$$\left( \cosh x \right)^{\prime} = \sinh x$$

$$\left( \tanh x \right)^{\prime} = \text{sech}^{2} x$$

説明

双曲線関数の微分法については、証明することも暗記することもそれほどではない。証明は単に定義を利用するだけであり、形も三角関数とほぼ同じで符号が違う程度だ。双曲線サインの証明法を用いれば、双曲線コサインの導関数も容易に求めることができる。双曲線タンジェントの導関数は、分数の微分法を適用して得られる。

証明

$\sinh$

$\sinh x = {{e^x - e^{-x}} \over {2}}$ だから、

$$\left( \sinh x \right)^{\prime} = {{e^x - (-1) e^{-x}} \over {2}} = {{e^x + e^{-x}} \over {2}} = \cosh x$$

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$\tanh$

$$\left( \tanh x \right)^{\prime} = \left( { {\sinh x} \over {\cosh x } } \right)^{\prime}$$

先に求めた微分公式 $\left( \sinh x \right)^{\prime} = \cosh x$, $\left( \cosh x \right)^{\prime} = \sinh x$ により、

$$\left( { {\sinh x} \over {\cosh x } } \right)^{\prime} = { {\cosh ^{2} x - \sinh ^{2} x} \over {\cosh ^{2} x } } = \text{sech} ^{2} x$$

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