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リーマン予想とリーマンゼータ関数の自明な根

式

次をリーマンの関数方程式という。 $$\zeta (s) = 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s)$$

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• $\Gamma$ はガンマ関数だ。
• $\zeta$ はリーマンゼータ関数だ。

説明

リーマンの関数方程式で、$s \in 2 \mathbb{Z}$ なら $\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) = 0$ となるから、自然に$\zeta (s) = 0$ と思うかもしれない。しかし、$s = 0$ の時は右辺に $\zeta (1 - 0)$ が出てくるから、根も何も全く定義されなくなり、$s > 0$ の時は

ガンマ関数の単純極：複素関数としてのガンマ関数 $\Gamma$ の定義域は以下の通りだ。 $$\mathbb{C} \setminus \left( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \right) = \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 , -1, -2, \cdots \right\}$$ それだけでなく、$\Gamma$ の特異点の集合 $\left( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \right)$ は単純極の集合だ。 $$\Gamma (1-z) = {\frac{ \pi }{ \Gamma (z) \sin \pi z }}$$

によれば、$\Gamma (1-s)$ の単純極 $\displaystyle {\frac{ 1 }{ \sin \pi s }}$ がサイン項 $\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right)$ をキャンセルして根にならない。だから、残った負の偶数 $s \in - 2\mathbb{N}$ が全部$\zeta$ の根になるが、これをリーマンゼータ関数の自明な根^{trivial Root of Riemann zeta function}と呼ぶ。その名も有名なリーマン予想は、これら自明な根を除外した非自明な根に関する仮説だ。

導出¹

リーマンのザイ関数の定義と対称性：次のように定義された関数 $\xi$ をリーマンのザイ関数という。 $$\xi (s) := {{ 1 } \over { 2 }} s ( s-1) \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)$$ $$\xi ( 1 - s) = \xi (s)$$

対称性により $$\pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (s) = \pi^{-1/2 + s/2} \Gamma \left( {{ 1 } \over { 2 }} - {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s)$$ 両辺に $\pi^{s/2}$ を掛けると $$\Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (s) = \pi^{-1/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 } \over { 2 }} - {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s)$$

オイラーの反射公式： $$\Gamma (p) \Gamma (1-p) = {{ \pi } \over { \sin (\pi p) }}$$

オイラーの反射公式で $\displaystyle p = s/2$ とすると $$\Gamma (s/2) \Gamma (1-s/2) = {{ \pi } \over { \sin (\pi s/2) }}$$ 従って $$\begin{align*} \zeta (s) =& \pi^{-1/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 } \over { 2 }} - {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) {{ 1 } \over { \pi }} \Gamma (1-s/2) \sin (\pi s / 2) & \\ =& \pi^{-3/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 - s } \over { 2 }} \right) \Gamma \left( 1 - {{ s } \over { 2 }} \right) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) & \cdots (\ast) \end{align*}$$

ルジャンドルの倍角公式： $$\Gamma (2r) = {{2^{2r-1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right)$$

ルジャンドルの倍角公式で $\displaystyle r= {{ 1-s } \over { 2 }}$ とすると $$\Gamma (1-s) = 2^{-s} \pi^{-1/2} \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) \Gamma \left( 1- {{ s } \over { 2 }} \right)$$ 従って$(\ast)$ に代入すると $$\begin{align*} \zeta (s) =& \pi^{-3/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 - s } \over { 2 }} \right) \Gamma \left( 1 - {{ s } \over { 2 }} \right) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& \pi^{-3/2 + s} 2^{s} \pi^{+1/2} \Gamma ( 1-s) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& 2^{s} \pi^{s-1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma ( 1-s) \zeta (1-s) \end{align*}$$

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