リーマン ゼータ関数
定義
次のように定義された関数 $\xi$ をリーマンのシー関数riemann xi functionと呼ぶ。 $$ \xi (s) := {{ 1 } \over { 2 }} s ( s-1) \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) $$
- $\zeta$ はリーマンのゼータ関数だ。
- $\Gamma$ はガンマ関数だ。
説明
リーマンのシー関数は元々異なる形で定義されていたが、エドムント・ランダウedmund Landauによって小文字のシー $\xi$ で再定義され、元々のリーマンのシー関数は大文字 $\Xi$ を使って $\Xi (z) := \xi \left( {{ 1 } \over { 2 }} + zi \right)$ のように定義された1とされている。
定理
$$ \xi ( 1 - s) = \xi (s) $$ 一方、リーマンのシー関数は $\displaystyle s = {{ 1 } \over { 2 }}$ に対して対称で、これは元のリーマンのシー関数の定義によると、次のように対称性をよりよく表現できた。 $$ \Xi ( -z ) = \Xi ( z ) $$
証明2
パート 1.
$$ \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$ ガンマ関数の定義から $t = n^{2} \pi z$ とすると $$ \begin{align*} \displaystyle \Gamma \left( x \right) =& \int_{0}^{\infty} \left( n^{2} \pi z \right)^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} n^{2} \pi dz \\ =& n^{2} \pi \left( n^{2} \pi \right)^{x-1} \int_{0}^{\infty} z^{x-1} e^{-n^{2} \pi z} dz \end{align*} $$ ここで $\displaystyle x := {{ s } \over { 2 }}$ と置くと $$ n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz $$ 両辺に $\sum_{n \in \mathbb{N}}$ を取ると、リーマンのゼータ関数の定義から $\Re(s) > 1$ の場合 $$ \begin{align*} \zeta (s) \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} \pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} e^{-n^{2} \pi z} dz \\ =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \sum_{n \in \mathbb{N}} e^{-n^{2} \pi z} dz \end{align*} $$
パート 2.
ヤコビのセータ関数の定義と性質: $$ \vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau } $$ このように定義された関数 $\vartheta$ をヤコビのセータ関数と呼び、次のような性質を持つ。 $$ \vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) $$
積分区間を $[0,1)$ と $[1 , \infty)$ で分けて、$[0,1)$ で $\tau := {{ 1 } \over { z }}$ のように置換すると $dz = \left| {{ 1 } \over { \tau^{2} }} \right| d \tau$ だから $$ \begin{align*} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) =& \int_{0}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{0}^{1} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ 1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) {{ 1 } \over { \tau^{2} }} d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ -1 - {{ s } \over { 2 }}} \sqrt{\tau} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \tau^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \vartheta \left( \tau \right) d \tau + \int_{1}^{\infty} z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \vartheta (z) dz \end{align*} $$ 積分子を再び $dz$ と統一して表示すると $$ \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) = \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz $$
パート 3. 上の方程式で、変数が $s$ ではなく $1-s$ であっても $$ \begin{align*} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{ - {{ 1-s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} + z^{{{ 1-s } \over { 2 }}-1} \right] \vartheta \left( z \right) dz \\ =& \int_{1}^{\infty} \left[ z^{{{ s } \over { 2 }}-1} + z^{ - {{ s } \over { 2 }} - {{ 1 } \over { 2 }}} \right] \vartheta \left( z \right) dz \\ =& \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \end{align*} $$ 両辺に $\displaystyle {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} = {{ s (s-1) } \over { 2 }}$ を掛けると $$ {{ (1-s) ((1-s)-1) } \over { 2 }} \pi^{-(1-s)/2} \zeta (1-s) \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) = {{ s (s-1) } \over { 2 }} \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) $$ これをリーマンのシー関数で表すと $$ \xi ( 1 - s) = \xi (s) $$
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