📂微分方程式

지수성장방정식/상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

方程式

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \tag{1}$$

上記のように定数係数を持つ一次線形同次微分方程式の一般解は次の通りだ。

$$y=Ae^{\alpha x}$$

このとき$A$は定数である。

説明

指数成長方程式^{exponential growth equation}とも呼ばれるが、解が指数関数であり人口が成長する現象をモデリングするのに使われるためである。

一回微分しても自分自身と同じ関数が何かを考えてみれば、なぜ指数関数が答えなのかがわかるだろう。

解法

$(1)$を変数分離すると次の通りだ。

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \implies \dfrac{1}{y} dy = \alpha dx$$

両辺を積分すると、対数関数の微分法により以下のようになる。

$$\ln y = a x + C$$

このとき$C$は積分定数である。最後に両辺に指数関数を取ると、

$$y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x}$$

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