定数係数を持つ1階線形同次微分方程式
定理
定数係数を持つ１次線形同次微分方程式
$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$
の一般解は
$$ y=Ae^{\alpha x} $$
である。この時$A$は定数である。
説明
微分して自分自身と同じになる関数が何かを考えると、なぜ指数関数が答えになるのかが分かるだろう。
証明
$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$
の変数を分けると
$$ \frac{ 1 }{ y }dy=\alpha dx $$
両辺を積分すると
$$ \ln y=ax+C $$
この時$C$は積分定数である。$y$の対数を外すと
$$ y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x} $$
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