グリーンの定理の証明
定理1
平面 $S = [a,b] \times [c,d]$ 上で反時計回りに単純かつスムーズな閉曲線を描く $\mathcal{C}$ としよう。関数 $P,Q : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ が $\mathcal{C}$ 上で連続であり、その導関数も連続であれば、
$$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$
説明
線積分を面積分に変換する定理として考えられる。平面に限定したケルビン・ストークス定理の系として広く知られている。より一般化された定理が存在するにもかかわらず、その名前が残される限り、多くの分野でその地位を失っていない定理である。
証明
$$ I_{1} := \int_{\mathcal{C}} P dx \\ \displaystyle I_{2} := \int_{\mathcal{C}} Q dy $$ とすると、 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = I_{1} + I_{2} $$ となる。まず $I_{1}$ から求めよう。
$I_{1}$ を計算する領域は上のように表されるだろう。この時、$\mathcal{C}$ を囲む領域は、 $$ S = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} \ | \ a \le x \le b, y_{1}(x) \le y \le y_{2}(x) \right\} $$ であるため、 $$ \begin{align*} I_{1} =& \int_{\mathcal{C}} Pdx \\ =& \int_{a}^{b} P(x,y_{1} (x))dx + \int_{b}^{a} P(x,y_{2} (x)) dx \\ =& - \int_{a}^{b} \left\{ P(x,y_{2} (x))-P(x,y_{1} (x)) \right\} dx \\ =& - \int_{a}^{b} \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)} {{\partial P(x,y)} \over {\partial y}} dy dx \\ =& - \iint_{S} P_{y} dy dx \end{align*} $$ 次に $I_{2}$ を求めよう。通常、このような証明では「同じ方法で求めることができる」と終わることが多いが、グリーンの定理では、直接計算しなければならない。方法は似ているが、結果的に符号が反対方向になるため、必ず確認するようにしよう。
$I_{2}$ を計算する領域は上のように表されるだろう。この時、$\mathcal{C}$ を囲む領域は、 $$ S = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ c \le y \le d, x_{1}(y) \le x \le x_{2}(y) \right\} $$ であるため、 $$ \begin{align*} I_{2} =& \int_{\mathcal{C}} Qdy \\ =& \int_{d}^{c} Q(x_{1}(y),y) dy + \int_{c}^{d} Q(x_{2}(y),y) dy \\ =& \int_{c}^{d} Q(x_{2}(y),y) dy - \int_{c}^{d} Q(x_{1}(y),y) dy \\ =& \int_{c}^{d} \left\{ Q(x_{2}(y),y) dy - Q(x_{1}(y),y) \right\} dy \\ =& \int_{c}^{d} \int_{x_{1}(x)}^{x_{2}(x)} {{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}} dx dy \\ =& \iint_{S} Q_{x} dx dy \end{align*} $$ $I_{2}$ と $I_{1}$ の結果を足すと、 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = I_{2} + I_{1} = \iint_{S} Q_{x} dx dy - \iint_{S} P_{y} dy dx $$
フビニの定理：$R : [a,b] \times [c,d]$ とする。$f(x,\cdot)$ が $[c,d]$ 上で、$f(\cdot,y)$ が $[a,b]$ 上で、$f$ が $R$ 上で積分可能であれば、 $$ \iint _{R} f dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy $$
前提条件から $P$ の導関数 $P_{y}$ も連続であるため積分可能であり、フビニの定理を適用できる。積分の順序を次のように変えると、 $$ \iint_{S} P_{y} dy dx = \iint_{S} P_{y} dx dy $$ そして積分順序を $dx dy$ に統一すると、 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} ( Q_{x} - P_{y} ) dx dy $$
■
上では長方形 $S$ について示したが、これを小さな正方形 $[\alpha, \alpha + \varepsilon] \times [\beta, \beta + \varepsilon]$ に特殊化し、さらに一般的な有界領域 $\mathcal{R}$ を一辺の長さが $\varepsilon$ の小さな正方形に分割し、$\varepsilon \to 0$ で極限をとると、次のような一般化された定理を簡単に得ることができる。
条件や表現は異なるかもしれないが、本質的には大きな違いはない。一般化に意味を置くよりも、教科書によって詳細が異なる程度で受け入れて進むとよい。
一般化 1
$\mathcal{R}$ で定義された2つの関数 $P,Q$ が $\mathcal{R}$ 上で微分可能であれば、 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{\mathcal{R}} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$
- 曲線 $C^{2}$ は2回微分可能で、その導関数も全て微分可能である。